[发明专利]一种间断伽辽金法求解欧拉方程的GPU加速方法

说明书

本发明属于计算流体力学、高性能计算领域，涉及一种间断伽辽金方法(DGM)的GPU并行加速技术，具体为一种间断伽辽金法求解欧拉方程的GPU加速方法。本发明采用四面体网格对求解区域进行剖分，以基函数、高斯积分、数值通量为基础，GPU为主要计算硬件，CUDA为编程模型建立间断伽辽金方法GPU并行框架。通过CUDA并行框架实现了GPU多线程的管理，通过设计的数据结构和线程访问方式来实现高效的内存访问。在解决面积分需要单元间数据交换而不独立的问题时，采用了按照面网格并行、每个面网格的计算线程处理两个单元的方式，既避开了单元不独立的问题，实现了大规模并行，还减少了计算量。

技术领域

本发明属于计算流体力学、高性能计算领域，涉及一种间断伽辽金方法(DGM)的GPU并行加速技术，具体为一种间断伽辽金法求解欧拉方程的GPU加速方法。

背景技术

欧拉方程是流体力学中描述无粘流体的方程组，其形式如下：

U_t+▽·F＝0 (1)

其中U代表守恒量、U_t代表守恒量对时间t的偏导数，F代表守恒通量，▽·F代表守恒通量的散度，且在三维情况下，有

其中ρ为气体密度，u、v、w为气体的三个速度分量，e为完全气体的单位体积总能量，p为气体压强。

对于上述欧拉方程的数值求解，通常采用以下几种方法：有限差分法、有限体积法、有限元法。其中有限差分法需要采用结构网格，且计算量小，常用于处理结构网格划分的简单几何区域上的求解，而对于复杂几何区域的求解则相对困难。有限体积法可以求解结构或非结构网格，因此可以处理复杂集合区域，应用范围相对较广，但其难以构造高阶格式(需要扩展模板)，且构造的高精度格式要么求解复杂、要么不够紧致。而间断伽辽金方法(DGM)则结合了有限元和有限体积方法，能够处理任意网格和复杂几何区域，而且DGM可以通过简单地增加单元内的解多项式的次数进而增加单元自由度(DOFs)来获得更高的空间精度，是一种高精度的流场求解方法。

间断伽辽金法的数值求解过程如下：将欧拉方程的两端乘以试探函数Φ并在体积Ω上积分，经积分变换可以得到伽辽金弱形式

将积分区域Ω划分为四面体网格，并取其中的一个单元Ω_k来考察上述方程，为了保证单元之间场的连续性，上式的面积分项的被积函数需要使用“数值通量”F*来代替，数值通量由单元两侧的数值计算得到，于是可以将上式重写为

其中u⁺,u^-分别代表积分面两侧的数值。若将守恒量u用基函数φ_i展开，并且试探函数也为φ_i，可得到

其中左端项仅与基函数有关，使用正交的基函数可以得到一个对角的质量矩阵，且仅与本单元相关。右端第一项为体积分项，仅与本单元项相关。以上两项是DG中最直接具有并行性的部分。右端第二项为面积分项，采用数值通量之后，这一项与积分面两侧的场都有关。

虽然DGM有更高的精度，也存在的一个计算量较大的问题，往往需要比其他方法更长的计算时间。但单元DOFs在单元间相对独立的特点使得该方法具有天然的并行性，非常适合于大规模并行计算，利用这一点可以弥补其计算量大的问题。