[发明专利]一种特殊鞍点问题的处理方法

说明书

本发明公开了一种特殊鞍点问题的处理方法，将原线性系统转化为易求解的等价线性系统，并使得预处理矩阵P^‑1A比原矩阵具有更好的谱性质而加快算法的收敛速度，提高算法的计算效率；并提高屏蔽效果，减小外界的干扰，防止数据出现错误。

技术领域

本发明属于鞍点问题处理技术领域，更具体地说，尤其的涉及一种特殊鞍点问题的处理方法。

背景技术

鞍点问题广泛应用于很多科学和工程问题中，比如流体力学，最优化，椭圆偏微分方程的混合有限元近似等。对于各种类型的鞍点问题的数值求解方法研究，国内外众多学者给出了许多有效的数值求解方法。当问题的规模不大时，很多经典的方法可以有效求解，例如LU分解方法、Gauss-Seidel方法、SOR方法、共轭梯度法等。

然而，当矩阵的阶数很大时，由于受计算机CPU计算时间、内存空间以及舍入误差的影响，很多经典的方法往往无法给出令人满意的计算结果。因此，针对各种特殊结构的鞍点问题，许多有效的迭代方法不断被提出，例如精确Uzawa方法、HSS方法、Krylov子空间法等。众所周知，迭代法的收敛速度与迭代矩阵的谱有密不可分的关系，在迭代矩阵谱半径小于1的前提下，迭代矩阵的谱半径越小其收敛速度越快。

然而随着科学技术的迅猛发展，实际问题中产生的线性方程组的阶数越来越高，利用迭代法求解将需要大量的存储空间、漫长的计算时间或者是超高性能的计算机，在现实应用中有诸多的限制。同时，在数据处理的过程中，由于会受到外界干扰的影响，会导致输出错误，进而影响数据结果。因此需要设计一种特殊鞍点问题的处理方法，已解决现有技术中存在的问题。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有技术中存在的缺点，而提出的一种特殊鞍点问题的处理方法，将原线性系统转化为易求解的等价线性系统，并使得预处理矩阵P^-1A比原矩阵具有更好的谱性质而加快算法的收敛速度，提高算法的计算效率，并且能够减小外界的干扰，防止数据出现错误，以解决背景技术中存在的技术问题。

为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种特殊鞍点问题的处理方法，包括如下步骤：

S1、对非对称正定线性方程组Ax＝b，将其系数矩阵矩阵A可以分裂为如下形式A＝G+K+S。

S2、给定初始向量，x⁽⁰⁾∈Cⁿ，通过求解下面的线性方程组计算x^(k+1)，直到迭代序列收敛：

其中a为一个正参数。

S3、当矩阵G或K是正定时，GHSS迭代法产生的迭代序列无条件收敛到线性方程组Ax＝b的精确解。

S4、给定初始向量，x⁽⁰⁾∈Cⁿ，通过求解下面的线性方程组计算x^(k+1)，直到迭代序列收敛：

如果矩阵G和K是对称正定矩阵或半正定，a，B满足一定条件时，AGHSS迭代法产生的迭代序列收敛到线性方程组Ax＝b的精确解。

S5、将AGHSS迭代算法应用于标准鞍点问题的求解，将鞍点问题的系数矩阵的对称部分分裂成两个对称矩阵，即

则系数矩阵A可分解为：

其中，G＝εL，L为对称正定矩阵，K为简单形式的对称半正定矩阵，S为反对称矩阵，则为对称半正定矩阵，为对称半正定矩阵；考虑到A有以下分裂：