[发明专利]一种谐振式加速度计力-频率关系方程建立方法

权利要求书

1.一种谐振式加速度计力-频率关系方程建立方法，其特征在于：具体包括谐振式加速度计控制方程的建立和谐振式加速度计力-频率关系方程的建立两个基本步骤；

步骤一，所述谐振式加速度计控制方程的建立包括：

建立谐振式加速度计力学模型：将谐振式加速度计等效为两端固支的欧拉梁，质量块等效为质量为m，不计尺寸小板将支撑梁等效为限定质量块只能左右移动的边界条件，得内部结构的力学模型；建立谐振式加速度计简化力学模型：当有加速度作用在质量块上时，质量块m上产生一个惯性力2F，惯性力使得谐振式加速度计简化力学模型产生一个方向向右的力，作用在梁的轴向上；为了便于找到这个轴向力在左右梁的分布情况，对谐振式加速度计简化力学模型做一个简化，将质量块看做集中质量m，与其连接的左右两梁的刚度分别为k₁、k₂，两根梁的轴向位移分别为x₁、x₂，由此可得到简化后的谐振式加速度计的简化力学模型；当质量块m受到一个2F拉力时，由简化力学模型可知k₁x₁+k₂x₂＝2F，其中，x₁＝x₂，所以，左端梁受拉力：右端梁受拉力：通过分析得知只有当k₁＝k₂，左右两端梁受力才为F；为方便研究，假设两梁完全相同；对谐振式加速度计的力学模型进行分析，根据哈密尔顿原理建立如下数学模型；谐振式加速度计内部结构的动能为其中，ρ为梁的材料密度，A为梁的等效横截面积，l为梁的轴向长度，m为梁的集中质量，u₁、u₂分别为左梁和右梁发生轴向拉伸的位移，v₁、v₂分别为左梁和右梁垂直于轴向的位移，为左梁的纵向、横向速度，为右梁的纵向、横向速度，为质量m的纵向速度；势能为虚功为δW＝F·δu₁(l)，对势能方程求变分可得其中，σ_1x、σ_2x为左右两梁受到的应力，δ表示变分，ε_1x、ε_2x代表两根梁在x方向的应变；

应变由四部分组成：F引起的应变大小为其中，E为材料杨氏模量；x方向中性面的轴向线应变，应变大小为x方向中性面外任意一点的形变，应变大小为其中，y为梁宽的一半；几何非线性项，其大小为综上，

将动能、势能和虚功的表达式代入哈密尔顿方程得

其中，J为谐振梁的转动惯量，E为材料的杨氏模量，分别为左梁轴线上任意一点处纵向和横向加速度，分别为右梁轴线上任意一点处纵向和横向加速度，为质量m的纵向加速度；

由加速度计实际模型可知边界条件为：

当x＝0时，

v₁＝0,v′₁＝0,v₂＝0,v′₂＝0,u₁＝0,u₂＝0，

当x＝l时，

v₁＝0,v′₁＝0,v₂＝0,v′₂＝0,u₁(l)+u₂(l)＝0,EA[u′₁(l)-u′₂(l)]+mü₁(l)＝F；

将上述边界条件代入，得到加速度计的控制方程

考虑系统作微幅振动，忽略以上方程中的高阶小的非线性项，同时鉴于结构的纵振频率远高于横振频率，忽略各方程中的耦合项，得到下列方程

即为谐振式加速度计的控制方程；

步骤二，所述谐振式加速度计力-频率关系方程的建立包括：

由于钢材料制作的梁纵振频率远高于横振频率，并且，在实际的直接输出频率加速度计的谐振敏感结构中，外部激振力激振的是音叉的横振模态，所以，加速度计的横振频率特性由方程

和确定；考虑梁受拉力时，由式知，假设v₁具有如下形式，v₁＝V₁(x)sin(q_lt)，将其代入上式得，V₁″″-α²V₁″-k⁴＝0，其中ql为结构的谐振频率；设V₁(x)＝e^λx代入上式有，λ⁴-α²λ²-k⁴＝0，进一步得到

令

进而，V₁(x)＝a₁sin(λ₂x)+b₁cos(λ₂x)+c₁sinh(λ₁x)+d₁cosh(λ₁x)，其中，a₁、b₁、c₁、d₁均为模态的待定系数；

将固支边界条件代入模态得

b₁+d₁＝0，a₁λ₂+c₁λ₁＝0，a₁sin(λ₂l)+b₁cos(λ₂l)+c₁sinh(λ₁l)+d₁cosh(λ₁l)＝0a₁cos(λ₂l)λ₂-b₁sin(λ₂l)λ₂+c₁cosh(λ₁l)λ₁+d₁sinh(λ₁l)λ₁＝0，令d₁＝-b₁，代入得

[cos(λ₂l)λ₂-λ₂cosh(λ₁l)]a₁+[-sin(λ₂l)λ₂-sinh(λ₁l)λ₁]b₁＝0

因为a₁、b₁不等于0，可知，系数行列式为0，得到如下力-频率关系方程

同理，受压力时，由式得假设v₂有如下形式v₂＝V₂(x)sin(q_yt)，代入上式得，V₂″″+α²V₂″-k⁴＝0，其中，设V₂＝e^λx代入上式有，λ⁴+α²λ²-k⁴＝0，进一步得到，

进而，

V₂(x)＝a₂sin(λ₁x)+b₂cos(λ₁x)+c₂sinh(λ₂x)+d₂cosh(λ₂x)，其中，a₂、b₂、c₂、d₂均为模态的待定系数；

将固支边界条件代入模态得

b₂+d₂＝0，a₂λ₁+c₂λ₂＝0，a₂sin(λ₁l)+b₂cos(λ₁l)+c₂sinh(λ₂l)+d₂cosh(λ₂l)＝0，a₂cos(λ₁l)λ₁-b₂sin(λ₁l)λ₁+c₂cosh(λ₂l)λ₂+d₂sinh(λ₂l)λ₂＝0，

令

代入上两式得

[cos(λ₁l)λ₁-λ₁cosh(λ₂l)]a₂+[-sin(λ₁l)λ₁-sinh(λ₂l)λ₂]b₂＝0，因为a₂、b₂不等于0，由上两式知，其系数行列式为0，得到以下力-频率关系方程