[发明专利]应用于保密通信的受控Lü系统与Genesio-Tesi系统的广义混沌同步方法

权利要求书

1.一种应用于保密通信的受控Lü系统与Genesio-Tesi系统的广义混沌同步方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)广义混沌同步问题描述

驱动系统为Genesio-Tesi系统，形式如下：

其中ξ＝(ξ₁,ξ₂,ξ₃)^T是状态变量，α、β和γ为已知实数参数，系统(1)要求存在L使得α-L＞0，同时L为如下方程的一个实数解

L³-2αL²+(α²+β)L+γ-αβ＝0 (2)

以受控Lü系统为响应系统，形式如下：

其中x＝(x₁,x₂,x₃)^T是状态变量，u是标量输入，a，b和c是已知正实数参数，b＝α-L以及2a-b≠0；

广义混沌同步要实现的目标是：响应系统(3)在与驱动系统(1)初值分别为x(t₀)和ξ(t₀)，响应系统轨迹经过状态反馈

u＝u(x,ξ,t) (4)

其中t表示时间，和相空间之间的状态变换

ξ＝T(x) (5)

后趋向于驱动系统的轨迹,即

这里||·||代表空间中向量的2-范数；

2)驱动系统的状态变换

对驱动系统(1)作如下状态变换η＝S(ξ)其中η＝(η₁,η₂,η₃)^T

这里K和L为待定参数，M_S为3阶方阵，此线性变换的逆变换为

以η为状态，系统表示为

上述系统中如果满足

则系统(9)简化为

由式(10)的第二个等式得出K＝β-L(α-L)并代入第一个等式得式(2)；

3)响应系统的状态反馈等价转换

对响应系统(3)，如果作反馈

u＝-(cx₂-x₁x₃)+u₁ (12)

系统可简化为

考虑将系统(13)通过状态变换和进一步的反馈转换为更为简单与系统(11)更为相似的形式，以便于设计广义同步控制方法，观察系统(11)，其为下三角形式的常微分方程，对3阶系统也就是为满足如下形式

希望系统(13)能转换为受控的下三角形式，即

其中v为输入，为此，记系统(13)的漂移向量场为

以及输入向量场为

令向量场

计算如下向量场李括号

注意在全局范围内秩为2，并且说明此分布对合；令

计算如下向量场李括号

在x₁＝0或者2a-b＝0时是秩仍为2，这也说明系统(13)不可能实现状态反馈线性化；但是，当2a-b≠0时，仅在一个零测度集内秩为2，此集合之外秩均为3，所以系统(13)可以通过状态变换等价转换为下三角系统(15)，然而，需探究系统(13)究竟能转换为何种下三角系统的问题，并且希望得到形式上较为简单的下三角系统，为此，注意到

此时全局范围内分布的秩为3并且对合，令

取如下分布

Δ₀＝span{X₀}；Δ₁＝span{X₀,X₁}；Δ₂＝span{X₀,X₁,X₂}， (24)

分布Δ₀,Δ₁,Δ₂及X₀,X₁,X₂具有以下性质：

①可验证[X₀,X₁]＝0，[X₁,X₂]＝0以及[X₀,X₂]＝0

②由①，Δ₀,Δ₁,Δ₂均为对合分布；

③由①，存在状态变换h＝(h₁(x),h₂(x),h₃(x))^T＝H(x)＝H(x₁,x₂,x₃)满足

④由于说明性质③中的状态变换h下，系统必定仍然具有下三角形式；

上述性质③也意味着满足以下3个偏微分方程组，第1组为

其中h₁(x)为光滑函数，符号”L”表示做李导数，第2组为

其中h₂(x)为光滑函数，第3组为

其中h₃(x)为光滑函数，上述3组偏微分方程的可行解分别为

在h＝(h₁,h₂,h₃)^T状态下系统成为

该系统实际上已具有下三角系统如系统(15)的形式，但从系统(30)的第二个式子看，上述系统通过如下状态变换还可进一步简化

如用y＝(y₁,y₂,y₃)^T状态表示x状态则为

在y状态下写出系统

设计输入

u₁＝-ax₁+ax₂+u₂， (34)

上述系统进一步简化为

上述系统的前2个方程在形式于驱动系统的等价形式(11)已实现一致；

4)广义同步

现在考虑系统(35)与系统(9)的同步问题，令二者状态差为e＝η-y＝(e₁,e₂,e₃)^T，则

设计反馈

u₂＝η₁-Kη₂-Lη₃-u₃ (37)

系统表示为

对于上述系统的子系统

可以根据线性系统的经典方法设计如下控制器：

该控制器下系统(39)将在的有限时间控制内，即t₁时刻实现e₂(t₁)＝e₃(t₁)＝0，设计一种控制器从t₀时刻开始，经有限时间实现e₂(t₁)＝e₃(t₁)＝0，并保证此过程中控制量有连续的一阶导数并过渡到0；首先，设计预想的e₂(t)为

其中p(t)为一元多项式，由于要求t₁时刻到达系统(39)的原点以及u₃在t＞t₀范围内有连续的一阶导数，这意味着e₂(t)在t₁时有连续的三阶导数，实际上e₂(t)和其一、二、三阶导数再t₁时刻为保证连续均只能为0，即

再考虑系统(39)的t₀时刻应满足

由于式(42)和式(43)共给出6个条件，所以p(t₀)应为5次多项式，再利用式(42)得

其中C₀和C₁为待定系数，利用式(43)的第1个式子得到

再由式(42)和式(43)的第2个式子

整理得到

该e₂(t)满足式(43)的各项要求，那么

以及

明显e₂(t₁)＝e₃(t₁)＝u₃(t₁)＝0；

在时间t₁之后，系统(38)的第一个方程成为此方程明显是大范围渐进稳定的，从而系统(38)大范围渐进稳定，说明系统(9)与系统(35)在此控制律下实现同步；

回到系统(1)与系统(3)的广义同步问题，系统(1)经过状态变换(7)成为系统(9)，系统(3)作了反馈和状态变换后成为系统(35)，其中状态变换需综合式(29)以及式(31)为

并命名此状态变换为y＝(y₁,y₂,y₃)^T＝Y((x₁,x₂,x₃)^T)＝Y(x)，而综合式(12)、式(34)、式(37)及式(40)，控制律为

其中u₃的表达式见式(49)。