[发明专利]一种基于分块矩阵的B样条基函数任意阶求导方法

说明书

本发明公开了一种基于分块矩阵的B样条基函数任意阶求导方法，涉及非均匀有理B样条曲线曲面的快速生成领域，以解决现有迭代方法需反复嵌套调用计算时间长效率低稳定性差的问题。将传统的B样条基函数及其任意阶导数计算公式采用分块行矩阵和列矩阵相乘的形式，实现B样条基函数自身和任意阶导数计算的统一。将列矩阵里每个元素再继续表示为分块行矩阵和列矩阵相乘的形式，直至最终将B样条基函数自身和任意阶导数表达为分块对角方阵与列矩阵连乘形式。该表达式中的每一个元素值均为已知数，编程实现时使用一个函数即可求解出B样条基函数及任意阶导数。本发明不存在函数内的反复嵌套调用仅包含加法和乘法运算，计算速度快效率较高且稳定性较好。

技术领域

本发明涉及计算机辅助几何设计与制造(CAGD/CAM)领域，特别涉及该领域中非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B Spline，NURBS)曲线曲面生成时B样条基函数及其任意阶导数的快速计算问题。

背景技术

利用计算机绘制三维曲线曲面时可采用多种类型的生成计算方法，其中NURBS以其丰富的表达内涵而赢得了广泛关注，它能为曲线曲面和标准解析形式提供统一的表达形式，已成为利用计算机处理几何信息时用于曲线曲面形状的表示、设计和数据交换的工业标准，如IGES、STEP和PHIGS等。以NURBS为基础的计算机辅助设计与数控编程时，涉及NURBS及其相关量的计算有很多，如曲线曲面上一点的三维坐标、沿曲线曲面参数方向的切向矢量、曲线曲面某点处的法向矢量以及主曲率、法曲率等。结合NURBS曲线曲面的数学表达式可以看出，有关NURBS的计算最终都将归结为关于B样条基函数及其任意阶导数的计算，而且计算频率非常高。由于B样条基函数也可视为其自身的0阶导数，因此关键在于寻求B样条基函数任意阶导数的计算方法。现有方法中，主要使用以下的de Boor-Cox方法。

关于某个参数u的p次第i个B样条基函数的r阶导数的表达式为

上式中：n+1为形成NURBS的控制点个数；u_i为已知的节点值，其中i取值0，1，2，…，n+p+1，共有n+p+2个，定义为有关NURBS的介绍可参考相关著作。

显然，de Boor-Cox方法是一种迭代计算方法，程序实现一个基函数时需进行函数的反复嵌套调用，随着曲线次数和控制点数目增多，嵌套次数和迭代计算时间也会随之大大增加，进而降低程序运行的效率和速度。而且该方法还存在任意阶导数计算不容易编程实现的缺点。

发明内容

为了克服上述现有技术的不足，本发明提供了一种基于分块矩阵的任意p次B样条基函数任意r阶导数的计算方法，并为NURBS曲线曲面及其相关量的快速计算及编程实现提供一种行之有效的方法。通过该方法可以将复杂基函数任意阶导数运算简化为一个函数体实现而且不存在函数的嵌套调用，具有较强的实用性和通用性以及较好的运算效率。现将本发明所采用的技术方案和包括的内容陈述如下。

待求解的导数中共包含4个参数，分别是u、r、i和p：其中参数u为区间[0，1]中的某一固定实数，在的整个运算过程中不变化；r、i和p取值为整数，但在的运算过程中是变化取值。因此，为方便后续表达和书写，将简化记为

假设矩阵M为1×2行矩阵，O为1×2行矩阵，Q为2×1列矩阵，并且将M、O和Q分别记为

和

同理，由于u在运算过程中不变化，将利分别简记为和

根据前述p次第i个B样条基函数的r阶导数的表达式，则有以下关系式

(1)当1≤r≤p时，p次B样条基函数r阶导数