[发明专利]基于Matlab的非线性反步控制器的仿真控制方法

权利要求书

1.一种基于Matlab的非线性反步控制器的仿真控制方法，其特征在于包括如下步骤：(1)建立磁悬浮球系统的数学模型

忽略小球受到的其他干扰力，由牛顿第二定律可得小球竖直方向的动力学方程：

md2xdt2=mg-F(i,x)---(1),]]>

式中x为磁极到小球质心的距离，单位为m；m为小球的质量，单位为kg；F(i,x)为电磁力，单位为N；g为重力加速度，单位为m/s²；

由磁路的基尔霍夫定律、毕奥-萨伐尔定律和能量守恒定律有：

F(i,x)=δWm(i,x)δx=δ(μ0AN2i22x)δx=-μ0AN22(ix)2---(2),]]>

式中μ₀为空气磁导率，μ₀＝4π×10^-7H/m；A为铁芯的极面积，单位为m²；N为电磁铁线圈匝数；x为小球质心到电磁铁的瞬时距离，单位为m；i为电磁铁线圈中的瞬时电流，单位为A；

令则电磁力的公式为：

F(i,x)=K(ix)2---(3),]]>

当小球处于参考位置时，所受合力为零，小球的重力等于小球受到的向上的电磁铁力，小球的加速度为0，则有：

mg=F(i0,x0)=K(i0x0)2---(4),]]>

考虑整个磁悬浮球系统，根据基尔霍夫电压定律可得：

U(t)=Ri(t)+d[ψm(t)]dt=Ri(t)+d[L(x)gi(t)]dt≈Ri(t)+L1d[i(t)]dt---(5),]]>

式中L₁为电磁铁的线圈电感，单位为H；L₀为参考位置处的电感，单位为H；x为小球到电磁铁的距离，单位为；i为电磁铁绕组中的瞬时电流，单位为A，R为电磁铁的等效电阻，单位为Ω；

综合以上公式，磁悬浮球系统可以使用如下非线性方程组来表示：

md2xdt2=mg-F(i,x)U(t)=Ri(t)+L1d[i(t)]dtF(i,x)=K(ix)2mg=F(i0,x0)=K(i0x0)2---(6),]]>

设系统的状态变量为x₁＝x,x₂＝x′,x₃＝i,则磁悬浮球系统可以改写为如下的非线性方程组：Equation Chapter 2 Section 8

x·1=x2x·2=g-kx32mx12x·3=uL1-RLx3---(7);]]>

(2)磁悬浮系统非线性反步控制器模型

设状态量x_i的期望值为x_id，则跟踪误差e_i＝x_i-x_id,i＝1,2,3。后文中的ρ_i和k_i都为正数，作为控制器使用的权重系数；

Step1：定义Lyapunov函数则

V·1=ρ1e1e·1=ρ1e1(x·1-x·1d)=ρ1e1(x2-x·1d)=ρ1e1(e2+x2d-x·1d)]]>

取

x2d=x·1d-k1e1]]>

则：

Step2：

定义Lyapunov函数则

V·2=V·1+ρ2e2e·2=-k1ρ1e12+ρ1e1e2+ρ2e2e·2=-k1ρ1e12+e2(ρ1e1+ρ2e·2)=-k1ρ1e12+e2(ρ1e1+ρ2x·2-ρ2x·2d)=-k1ρ1e12+e2(ρ1e1+ρ2g-ρ2Kx32mx12-ρ2x·2d)=-k1ρ1e12+e2(ρ1e1+ρ2g-ρ2K(e3+x3d)2mx12-ρ2x·2d)]]>

取

则

Step3：

定义Lyapunov函数则

V·3=V·2+ρ3e3e·3=V·2+ρ3e3(x·3-x·3d)=-k1ρ1e12-k2ρ2e22-ρ2e2e32Kmx12-ρ2e2e32Kmx12x3d+ρ3e31L1u-ρ3e3RL1x3-ρ3e3x·3d]]>

取

则

根据LaSalle不变性理论，得出结论所有的跟踪误差e_i,i＝1,2,3都渐近趋近于零，系统稳定性得到证明，反步控制器的控制率由式(8，9，10)给定。