[发明专利]基于扩张状态观测器的负载模拟器反步控制方法

权利要求书

1.一种基于扩张状态观测器的负载模拟器反步控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、建立三阶的负载模拟器的数学模型；具体为：

负载模拟器的输出力矩动态方程为：

公式(1)中，D_L为负载液压马达的排量，P_L＝P₁-P₂为液压马达负载压力，P₁、P₂分别为马达两腔的压力，J_L为负载惯性，系统负载的角加速度；T_f为摩擦力矩，T为作动系统的反馈力矩；

压力动态方程为：

公式(2)中，Q_L为负载流量，为系统负载的角速度，β_e为液压油的有效体积模量，V_t＝V₁+V₂为液压缸两个腔的总体积，分别为两个腔的体积，V₀₁和V₀₂分别为这两个腔的初始体积，为负载的角位移，C_t为马达的总泄露系数，为系统的模型不确定性，负载流量Q_L的表达式为：

公式(3)中，C_d为节流孔流量系数，W为面积梯度，x_v为阀芯位移，P_s为系统供油压力，ρ为液压油的密度，系统回油压力P_r＝0，sgn(*)为一个符号函数，其定义为：

阀芯位移x_v和输入电压u之间满足x_v＝k_xvu，其中k_xv为电压-阀芯位移增益系数，u为输入电压；

假设1：在正常工况下的实际液压系统，由于P_r和P_s的影响，P₁和P₂都是有界的，即0≤P_r＜P₁＜P_s，0≤P_r＜P₂＜P_s；

由于负载模拟器的力矩输出是由两端力矩传感器的角度差产生的，因此力矩输出的表达式可以写为：

其中，T为系统的力矩输出，K_s为力矩传感器的刚度，分别为负载与作动器的角位移；

选择系统的力矩输出T、负载的角速度负载压力P_L作为系统状态变量，即令综合公式(1)～公式(5)，系统的状态方程则可以描述为：

其中，

令力矩跟踪指令为T_d，因此，控制器的设计目标就是设计一个控制输入u，使得跟踪误差z₁＝T-T_d尽可能的小；

对于任意力矩跟踪指令，我们有以下假设：

假设2：跟踪目标力矩T_d(t)是连续可微的，并且T_d(t)和他的一阶微分都是有界的，运动干扰也都是有界的；

步骤2、确定负载模拟器的状态估计方法；具体为：

设计状态观测方程，根据公式(6)可得：

其中，x₄＝d；

定义状态向量x＝[x₁,x₂,x₃,x₄,]^T，将公式(7)写成如下向量的形式：

公式(8)中，

状态向量x的估计方程写为：

其中，为状态x的估计值，w₀为一个大于0的常值参数；

定义为状态x的估计误差，则有：

现令ε_i为一个辅助设计变量，则公式(10)改写为：

公式(11)中，矩阵

由于矩阵A为Hurwitz矩阵，因此一定能找到一个正定矩阵P使下式成立：

A^TP+PA＝-2I (12)步骤3、设计基于扩张状态观测器的负载模拟器反步控制方法；具体为：

令x₁＝T/K_s，x_1d＝T_d/K_s，定义跟踪误差z₁为：

z₁＝x₁-x_1d (13)

对z₁求导，可得：

把x₂看成公式(14)的输入，则为x₂设计一个虚拟控制率x_2d，定义z₂为x₂与x_2d之间的控制误差，即：

z₂＝x₂-x_2d (15)

把公式(15)代入到公式(14)中，设计虚拟控制率x_2d为：

其中，k₁0为一个反馈常数；

对公式(16)求导，可以得到：

再对公式(15)求导，可得：

把x₃看成公式(18)的输入，则为x₃设计一个虚拟控制率x_3d，定义z₃为x₃与x_3d之间的控制误差：

z₃＝x₃-x_3d (19)

把公式(19)代入到公式(18)中，设计虚拟控制率x_3d为：

公式(20)中，x_3da与x_3ds分别为虚拟控制率x_3d的模型补偿项与非线性反馈项，k₂0为一个反馈常数，将公式(20)代入到公式(18)，z₂导数的表达式可写为：

z₃导数的表达式为：

由于x_3d是同时关于时间t、状态x₁、的函数，因此对x_3d求导时，有一部分无法求出确切的值，于是将x_3d的导数拆为可计算与不可计算的部分，分别为与即：

公式(23)中，与的表达式分别为：

根据公式(22)～(24)，设计系统输入u：

此时，z₃的导数可以写为：

根据g(u，x₃)与ε_i的定义，结合中值定理有如下结果：

公式(21)中，c₁～c₄为大于0的已知常数。

2.根据权利要求1所述的基于扩张状态观测器的负载模拟器反步控制方法，其特征在于，对步骤3中设计的控制器进行稳定性测试，具体为：

定义李雅普诺夫函数V(t)：

公式(28)中，Z＝[z₁,z₂,z₃]^T为误差向量，P为公式(12)中的正定矩阵；

根据公式(28)所定义的李雅普诺夫函数表达式可得其导数：

将公式(27)代入公式(29)有：

公式(30)中，γ₁＝k₁w₀+k₂w₀+c₁，定义η＝[|z₁|,|z₂|,|z₃|,|ε₁|,|ε₂|,|ε₃|,|ε₄|]^T，则公式(30)可写为：

根据公式(31)可以知道V是有界稳定的，其稳定方程为：

也就是说，跟踪误差z₁也是有界稳定的。