[发明专利]一种基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法

说明书

技术领域

本发明涉及一种不变流形计算方法，具体涉及一种基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法。

背景技术

平动点是限制性三体问题中的动平衡点，在随两个天体一起旋转的参考系中处于静止状态，它们是几何意义上的点，其本身的应用价值十分有限。真正引人关注的是其周围大量存在的周期轨道，以及与之相联的管状不变流形(包括稳定流形和不稳定流形)。周期轨道是实现某些特殊任务的理想场所，而不变流形则提供了往返于主天体和周期轨道之间的低能耗转移途径。太阳系中不同三体系统平动点周期轨道的不变流形还存在相交的情形，从而拓展了系统间的深空转移轨道设计范围，因此寻找航天器从地球停泊轨道到平动点附近周期轨道的转移轨道显得尤为重要。

因而90年代，Gomez等人引入非线性动力系统理论，利用稳定流形将航天器送到了平动点附近，是转移轨道设计的重大突破。这一发现不但节省了能量也为星际超级公路(IPS)理论的诞生奠定了基础。但是不论日-地系统还是地-月系统，不变流形距离地球都比较远，需要在推力作用下将航天器从地球停泊轨道转移到稳定流形上。由于在优化拼接点时需要计算很多次不变流形如何选取带推力轨道与稳定流形的拼接点是进行低能轨道转移设计的关键。已经有学者对不变流形的计算进行研究，Zhang利用三次回旋插值法计算圆型限制性三体问题不稳定平动点周期轨道的不变流形，Lei利用Lindstedt-Poincaré方法求解了限制性三体和四体平动点周期轨道不变流形的高阶近似解析解，Dellnitz提出了方向集数值计算方法，Howell利用胞映射法描述和存储不变流形的数据，这些计算方法提高了不变流形的计算速度，但是却没有关注不变流形的能量变化。由于圆型限制性三体问题是一个非线性自治哈密顿系统，它没有严格的解析解，而且由于自身的强非线性使得对初值误差十分敏感，有可能一点微小的计算误差将导致微分方程的解大大偏离实际情况。因此需要一个精度高并且保能量的不变流形计算方法。

普通数值解法具有人为耗散性，长时间计算会导致系统总能量的耗散随时间的平方增长。在研究三体问题的过程中，对辛结构的破坏无疑会对动力学特性造成很大影响，使得系统的长期演化不能真实的反映客观事实。辛积分方法由于具有保辛结构和能量守恒两个重要特性，近年来得到了快速发展。而显式辛算法具有比隐式辛算法计算效率高的优势，但其要求Hamilton系统必须可以分成两个可积的部分，旋转坐标系下的圆型限制性三体问题由于Coriolis力的影响，不能像惯性系下的系统一样成为可分系统，因此从形式上看显式差分格式对其不适用。刘林通过将圆型限制性三体问题的Hamilton函数分成动能与势能的和以及由于坐标旋转产生的非惯性力两部分，然后利用算法合成构造差分结构，计算复杂。Wu分析了带有三阶导数项的力梯度辛算法(TGS)在保能量上的优势，但是没有将TGS算法应用在旋转坐标系下的圆型限制性三体问题中，也没有考虑将辛算法用在不变流形的求解上，因此需要设计出一种方法通过辛算法求解不变流形，同时能够应用于圆型限制性三体问题中。

发明内容

本发明的目的在于克服上述现有技术的缺点，提供了一种基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法，该方法能够通过辛算子求解圆型限制性三体问题，同时能够应用于计算不变流形。

为达到上述目的，本发明所述的基于混合Lie算子辛算法的不变流形计算方法包括以下步骤：

1)能够分解为动能T(p)与势能V(q)的Hamilton系统为：

H(p,q)＝T(p)-V(q)

其中，动能T(p)为关于动量p的正定二次函数，势能V(q)为关于坐标q的函数；

2)构造圆型限制性三体问题的Hamilton函数中动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子B，其中，

3)通过动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子构建复杂的算子D，其中，

再通过复杂的算子D、动能T(p)的Lie算子及势能V(q)的Lie算子构建高阶算法MTGS，然后计算高阶算法MTGS的差分格式，再根据高阶算法MTGS的差分格式计算不变流形的值。

高阶算法MTGS的表达式为：

其中，h为积分步长，a＝0.07031087134179426,b＝0.22567322037345600,d＝0.42968912865820600，e＝0.5486535592530870，f＝8.24738475808650700，g＝0.00000616436517893。