[发明专利]一种考虑转动效应的岩质边坡极限承载力分析上限法

权利要求书

1.一种考虑转动效应的岩质边坡极限承载力分析上限法，其特征在于，包括如下步骤：基于塑性极限分析上限理论，以节理岩质边坡为研究对象，采用多自由度刚性块体单元离散节理岩质边坡，以刚性块体单元形心的平动速度、转动速度为未知量，同时考虑岩块的平动和转动力学效应，以边坡的超载系数为目标函数，构建满足结构面剪切破坏、拉伸破坏和转动破坏的塑性流动条件；然后结合虚功原理和速度边界条件建立求解节理岩质边坡的极限承载力的线性数学规划模型，并采用单纯形法对线性数学规划模型进行求解，同时可以采用迭代法求解强度储备系数，最终获得节理岩质边坡极限承载力的上限解和对应的破坏机构；

具体步骤如下：

(一)拟定节理岩质边坡的计算参数

根据节理岩质边坡的实际情况，拟定上限法分析需要的计算参数，包括：地质条件参数、岩质边坡的几何参数、岩体和节理材料的参数和边坡荷载参数信息，其中岩体和节理材料的参数包括容重、凝聚力、摩擦角、抗拉强度；

(二)采用多自由度刚性块体单元离散节理岩质边坡

(1)将节理岩质边坡离散为刚性岩块+结构面的几何系统；(2)采用多自由度刚性块体单元模拟岩块，以刚性块体单元形心的平动速率和转动速率为未知量；(3)刚性块体单元之间的结构面上作用有法向力、切向力和弯矩；

其中总体坐标系为(x,y)，刚性块体单元i与刚性块体单元j相邻的结构面k上的局部坐标系定义为(n_k,s_k)，块体单元i形心c_i上作用有速度向量是块体单元i的形心处的水平方向的速度，是块体单元i的形心处的竖直方向的速度，是块体单元i的形心处的转动速度；块体单元i中任意一点P(x,y)上作用有速度向量是块体单元i中位置坐标为(x,y)的任意一点的水平方向的速度，是块体单元i中位置坐标为(x,y)的任意一点的竖直方向的速度，是块体单元i中位置坐标为(x,y)的任意一点的转动的速度；速度向量包括平动和转动，相邻块体单元之间的结构面k形心上作用有速度间断向量δn_k是结构面k形心处的沿法向的平动速度间断值，δS_k是结构面k形心处的沿切向的平动速度间断值，δθ_k是结构面k形心处的转动速度间断值；结构面k形心上作用有内力向量N_k是结构面k形心上作用有法向力，V_k是结构面k形心上作用有剪力，M_k是结构面k形心上作用有弯矩；块体单元i形心c_i上作用有等效荷载力向量f_xi是块体单元i形心上作用的沿x方向的等效外力，f_yi是块体单元i形心上作用的沿y方向的等效外力，m_i是块体单元i形心上作用的等效弯矩；

为了简化计算，作如下假设：(1)假设岩块为刚体，因此刚性块体单元不会发生变形和破坏，破坏只会发生在相邻块体单元之间的结构面上；(2)同时考虑刚性块体单元的平动和转动效应，在变形过程中岩块不会相互脱离；(3)同时考虑块体之间的剪切破坏、拉伸破坏和转动破坏；(4)刚性块体单元之间需同时满足平动和转动的变形协调条件；

(三)建立求解同时考虑平动和转动效应的节理岩质边坡承载力上限法模型

根据塑性极限分析上限法理论，要建立同时考虑平动和转动效应节理岩质边坡承载力的上限法模型，必须先建立节理岩质边坡相应的机动许可速度场，上限法机动许可速度场需满足相应的约束条件和建立对应的目标函数，刚性块体单元必须满足以下3个约束条件：(1)结构面塑性流动约束条件；(2)内功功率与外功功率相等条件；(3)速度边界条件；

(1)目标函数

上限法的目的是寻求边坡结构的极限状态，对于节理岩质边坡，有两种方式使其达到极限状态，一是通过逐步增加外荷载，二是通过逐步降低岩体的强度参数，即求解超载系数和强度储备系数；将超载系数设为目标函数，即Minimize:K₁；

超载系数即求解岩质边坡发生失稳破坏的那一刻的临界荷载，超载系数K₁为：

K₁＝F_c/F_a，其中F_c是极限荷载，F_a是边坡结构当前实际施加的外荷载；

强度储备系数是通过降低材料的抗剪、抗拉强度参数直至边坡失稳破坏得到的，强度储备系数K₂为：其中c,分别是结构面的凝聚力和摩擦角，c′,分别是结构面进行强度折减以后的凝聚力和摩擦角，σ^T,σ^T'是岩体折减前、后的抗拉强度；

(2)结构面塑性流动约束条件

结构面塑性流动约束条件由如下两个条件导出：①考虑块体单元平动转动的结构面变形协调条件②相邻块体单元滑移剪切破坏、拉伸破坏以及转动破坏的广义屈服条件；

①考虑块体单元平动和转动的结构面变形协调条件

将节理岩质边坡离散为刚性块体单元+结构面的几何系统以后，块体单元i中任意一点P(x,y)作用的速度向量为使用块体单元i形心c_i上作用的速度向量来表示：

上式中：是块体单元i的形函数；是块体单元i中任意一点P(x,y)处的速度向量，是块体单元i的形心c_i处的速度向量，(xⁱ,yⁱ)为块体单元i中任意一点P的位置坐标；是块体单元i中形心c_i的位置坐标；

相邻块体单元i、块体单元j以及两者的交界面k之间的变形必须满足变形协调条件，相邻块体单元i、块体单元j之间的结构面k形心存在速度间断向量表示为：

上式中：是结构面k形心处的速度间断向量；N_i是块体单元i在结构面形心处的形函数，N_j是块体单元j在结构面形心处的形函数，是整体坐标到局部坐标的转换矩阵，l₁、m₁和l₂、m₂分别是局部坐标系(n_k,s_k)中n_k轴和s_k轴在总体坐标系(x,y)中的方向余弦；是块体单元i中结构面k中点的位置坐标；是块体单元j中结构面k中点的位置坐标；是块体单元i中形心c_i的位置坐标；是块体单元j中形心c_j的位置坐标；

结构面变形协调条件可用向量、矩阵简写为：

上式中：D^K＝[-Tⁱ T^j]；

是相邻两个块体单元i,j的形心处的速度向量，是块体单元j的形心处的水平方向的速度，是块体单元j的形心处的竖直方向的速度，是块体单元j的形心处的转动速度；

②相邻块体单元滑移剪切破坏、拉伸破坏以及转动破坏的屈服条件

两个相邻块体单元之间的结构面有三种破坏模式：(a)滑移剪切破坏(b)拉伸破坏(c)转动破坏，同时考虑块体单元的平动和转动力学效应，并建立结构面的剪切破坏、拉伸破坏以及转动破坏的屈服条件；

假设刚性块体单元之间不能承受拉力，即抗拉强度为σ^T＝0，在局部坐标系(n_k,s_k)中采用结构面k形心上作用的内力向量表示的同时满足剪切破坏、拉伸破坏的修正Mohr-Coulomb屈服准则写为：

上式中：n_d是结构面数量，l_k是结构面k的长度，c,是结构面的凝聚力和内摩擦角，σ^T是结构面的抗拉强度，对于节理岩质边坡一般取岩体的抗拉强度为σ^T＝0，N_k是结构面k的法向力，规定以拉力为正，V_k是结构面k的剪力；

当节理岩质边坡的刚性块体单元发生转动破坏时，在倾倒破坏发生的临界时刻，发生相对转动的相邻块体单元之间结构面k的转动破坏准则表示为：

上式中：n_d是结构面数量，l_k是结构面k的长度,N_k是结构面k的法向力，规定以拉力为正,M_k是结构面k的弯矩；

综合结构面考虑拉伸破坏的修正Mohr-Coulomb屈服准则以及块体转动破坏准则，得到块体单元平动-转动破坏的广义屈服条件具体表示如下:

上式中：k＝1,…,n_d；

③结构面塑性流动约束条件

假定速度不连续位于两个相邻块体单元的公共边上，并假设结构面的厚度等于0，在结构面上沿法向、切向速度间断值以及转动角速度间断值必须符合关联流动准则；

结合屈服准则和关联流动法则是塑性乘子，f_k为结构面k的剪切、拉伸和转动破坏的广义屈服准则，可得到结构面k的广义速率间断分量如下：

上式用向量和矩阵简写为：

上式中：是结构面k速度间断向量，其中分别为法向速度、切向速度和转角速度的间断分量；是结构面k的5个非负塑性乘子,或代表着结构面发生剪切塑性流动,代表着结构面发生拉伸塑性流动，或代表着沿结构面两侧相邻的块体单元发生旋转塑性流动，

根据上限法理论相邻块体单元之间必须满足变形协调条件，同时，相邻块体单元之间需满足机动许可的关联流动准则，根据塑性理论的关联流动法则，由变形协调条件得到广义应变率分量应该等于由关联流动法则以及屈服条件得到广义塑性应变率分量，得到所有结构面的塑性流动约束条件：是是结构面k的速度间断向量，δλ^k是结构面k的塑性乘子向量，同时要求塑性乘子为非负的附件约束条件：

(3)内功功率与外功功率相等条件

由虚功原理得知，岩质边坡的外力所做的虚功功率和边坡体内能的耗散功率相等，由于块体单元内部不会发生任何变形和破坏，因此块体单元内部的内功耗散等于0；内功的耗散仅仅产生于相邻块体单元之间的结构面上，根据关联流动法则以及广义屈服条件，岩体中沿结构面发生剪切破坏的内部耗散功率为：

上式中：n_d为岩体中结构面的数量，l_k为结构面的长度，c为结构面的凝聚力；

作用在岩质边坡上的外荷载包括：岩体自重、边界上的力荷载，这些荷载会在块体单元形心的速度上产生做功，块体单元自重在块体单元竖直方向速度上的所做的外功为：

上式中：n_b为岩体中块体单元的数量，A_i为块体单元的面积，γ为岩体的容重，是块体单元竖直方向的速度；

块体单元边界上的力荷载可以等效移植到块体单元形心上形成外力的等效荷载力向量，其在块体形心速度上所做的外功为：

上式中：n_f为岩体中边界上作用有外荷载的块体单元的数量，为块体单元i形心上的速度向量，为边界上块体单元i形心上作用的等效荷载力向量；

得到岩体的内功功率与外功功率相等条件：假设则有：

(4)速度边界条件

节理岩质边坡中的速率为零的边界b上的边界条件为：

上式中：n_j为速度为0的块体边界界面的数量，为块体边界b上的界面j的整体坐标到局部坐标的坐标转换矩阵，是边界上速度为0的块体单元的速度向量：

上式中：α_j为边界外法线方向与x方向的夹角，逆时针为正；

(5)同时考虑平动和转动效应的节理岩质边坡承载力上限法模型

集成目标函数式、以及约束条件，得到同时考虑平动和转动效应的节理岩质边坡承载力上限法线性数学规划模型：

采用迭代法求解强度储备系数K₂；

(四)求解节理岩质边坡的极限承载力

采用单纯形法对步骤(三)中的上限法模型进行求解。