[发明专利]一种求解多重定积分的对偶神经网络方法

说明书

技术领域

本发明属于工程结构分析中的智能计算技术领域，尤其涉及一种多重定积分求解的神经网络计算方法。

背景技术

在结构可靠度计算、动力学分析、现代控制工程等研究领域中经常会遇到计算积分值的问题。由于通常无法找到解析解或被积函数只能以数据的形式给出，要面临数值积分的问题。目前已有newton-cotes法、 romberg方法、gauss法等数值积分计算方法，但是对于积分区域不规则的多维积分问题，利用上述方法将难以给出有效的解答。针对此问题人们提出了基于MonteCarlo法的积分计算方法。通过大量的计算和统计分析可以获得高精度的计算结果，但是计算量大是制约该方法发展与实际应用的主要问题。文献[1]提出了一种基于神经网络的计算方法。其基本思想是训练傅立叶基神经网络来逼近被积函数，再对所得傅立叶基函数进行积分以实现定积分问题的数值计算。算例仿真表明了该法的有效性，但是该方法没有在求解多重定积分问题上取得进展。文献[2]给出了一种基于对偶神经网络的积分计算方法。该方法成功解决了一重定积分和积分域为超立方体的多重定积分的计算问题，但是对于任意积分域的多重定积分问题却没有有效的解决方案。

发明内容

本发明的发明目的是：针对上述问题，将在文献[2]给出方法的基础上，提出一种通过反复使用一重对偶神经网络方法进行求解以达到对任意积分域多重定积分的求解。

本发明的技术方案是：一种求解多重定积分的对偶神经网络方法，包括以下步骤：

S1首先给出一重积分对偶神经网络方法。

一个对偶神经网络包括A、B共2个前向型BP神经网络。其中，神经网络A用于学习积分算式中的被积函数，另一个神经网络B，会通过与神经网络A在权值和激活函数上的特定联系，由神经网络A来确定，用于构建积分被积函数的原函数。神经网络B的结构框图如图1所示，网络输出与输入变量间的函数关系如式(1)。

图1中的g(x)为网络的隐层单元激活函数。

将式(1)写成更一般的函数形式Y＝NETB(x₁，x₂，…，x_n)。

对偶神经网络中的另一个神经网络A的结构框图如图2所示，其网络输出与输入变量间的函数关系可写为式(2)。

图2中的h(x)为隐层单元激活函数。

将上述式(2)写成一般函数形式为y＝NETA(x₁，x₂，…，x_n)。上述NETA(x₁，x₂，…，x_n)、 NETB(x₁，x₂，…，x_n)均为具有n个自变量的多元函数。

以下给出证明，当网络权值系数、激活函数满足式(3)时，对偶神经网络A和B的网络函数关系为积分被积函数与积分原函数关系。

将式(3)带入式(4)可得：

根据牛顿-莱布尼兹公式定义可知，函数NETB(x₁，x₂，…，x_n)是函数NETA(x₁，x₂，…，x_n)的原函数，即有下式成立。

称神经网络A与神经网络B为一对对偶神经网络，简称对偶神经网络。

其中，

表1给出了在对偶神经网络A、B中满足条件式(3)的隐层单元激活函数。

表1对偶神经网络激活函数表

S2、利用一重积分对偶神经网络方法给出任意积分上、下限多重定积分计算方法。