[发明专利]基于Jacobi迭代算法的高精度矩阵特征值分解实现方法

说明书

技术领域

本发明属于信号处理领域，尤其涉及种基于Jacobi迭代算法的高精度矩阵特征值分解实现方法。

背景技术

在信号处理中，矩阵的特征值分解EVD是一个应用广泛的矩阵运算。如数据压缩、噪声去除、数值分析，包括近几年兴起的机器学习、深度学习其基本核心操作也包括矩阵特征值分解。实现矩阵特征值分解的常用方法有Gauss变换、Householder变换、Jacobi迭代等，其中，Jacobi迭代是精度较高的方法，并且很适合在FPGA中实现。因此一种基于Jacobi迭代算法的高精度矩阵特征值分解实现技术在实际工程中具有很高的应用价值。

经典的Jacobi迭代算法计算共轭矩阵A∈C^n×n的特征值分解如图1所示，这种经典的迭代算法虽然有较快收敛速度，但是该算法需要在矩阵A的众多元素中选取a_ij，使得a_ij为非对角元素中绝对值最大的一个，再进行后面的计算操作。这样每一步都要寻找绝对值最大的非对角元，比较费时也不适合在FPGA实现，因此经典的Jacobi迭代算法在实际工程中并不实用。

目前实际工程中多数采用如图2所示的循环Jacobi迭代算法，通过逐行扫描遍历法选取a_ij，这样避免了寻找最大绝对值的非对角元的复杂繁琐步骤。这样选取a_ij的方式，在a_ij数值比较大时，FPGA中使用Cordic算法计算φ、θ误差比较小，可以取得比较好的效果。但当a_ij比较小甚至接近0时，此时FPGA中使用Cordic算法计算φ、θ误差比较大，就会导致后面计算A＝Q^HAQ产生误差，其中Q∈C^n×n为复数域内的平面旋转矩阵。而计算过程需要多次的迭代运算，如果在迭代过程中出现多次a_ij比较小甚至接近0的情况，就会产生较大的累计误差，从而使最终计算结果的精度相对较差。

发明内容

发明的目的在于解决在循环Jacobi迭代算法进行矩阵特征值分解过程中，因为逐行扫描遍历法选取a_ij在a_ij比较小甚至接近于0时，导致FPGA中使用Cordic算法计算φ、θ误差比较大，进而使迭代过程产生相对较大的累计误差，导致计算结果误差增大。即提供一种基于Jacobi迭代算法的高精度矩阵特征值分解实现方法，在不明显增加算法复杂度、FPGA实现难度与增加资源消耗的情况下，提高实际工程中基于循环Jacobi迭代算法的FPGA实现矩阵特征值分解的计算精度。

一种基于Jacobi迭代算法的高精度矩阵特征值分解实现方法，包括如下步骤：

S1、设数据矩阵A∈C^n×n为共轭矩阵，并且设定最大遍历次数为T、最小清扫门限a、扩位门限b和算术左移位数m，其中，最小清扫门限a应小于要求计算结果的精度一个数量级，扩位门限b与算术左移位数m与FPGA实现里数据位宽size有关，满足b×2^m＜2^size-4保证计算结果不溢出，n为不为零的自然数，共轭矩阵A中的元素为a_ij，i＝1,2,3,...,n，j＝1,2,3,...,n，1≤t≤T且t为自然数；

S2、初始化遍历次数计数器，令t＝0，

初始化特征向量初始矩阵，令V＝E，其中，E为单位阵；

S3、在S1所述共轭矩阵A中选取a_ij，初始化清扫元a_ij行列下标，令i＝1，j＝2；

S4、判断a_ij是否满足跳过清扫条件|real(a_ij)|＜a&|imag(a_ij)|＜a，若满足则转入S10，如不满足则转入S4；

S5、判断a_ij是否满足扩展条件|real(a_ij)|＜b&|imag(a_ij)|＜b，若满足则转入S6，若不满足则转入S7；

S6、进行位扩展，即计算a′_ij＝a_ij×2^m，转入S7；

S7、令a′_ij＝a_ij，进入S8；

S8、计算根据所得计算