[发明专利]一种自由光滑变形隐式曲线的定义方法

说明书

技术领域

本发明涉及一种隐式曲线的定义方法，特别涉及一种能够自由且光滑变形的隐式曲线的定义方法，属于计算机辅助几何设计领域和计算机图形学领域。

背景技术

在计算机辅助几何设计领域，熟知有两种常见的定义曲线曲面的方法：参数形式与隐式形式。这两种形式各有优缺点：参数形式易于绘制，在造型上也便于控制，但难以构建任意拓扑的几何模型；隐式形式便于判断模型相互位置关系，在布尔运算时具有封闭性，但难以直观有效地应用于几何造型。

相对于参数形式中最具代表性的非均匀有理B样条曲线曲面，现有隐式曲线曲面在几何造型中的表现常处于两个极端：一类是能够描述和构建任意拓扑的复杂几何模型，但其参数定义在高一维空间中，参数数目过于庞大，如径向基函数隐式曲面；另一类是定义方式简洁且所用参数很少，但其局部表达能力很弱，难以构建出自由光滑可变的几何模型，如超二次曲面及其改进形式。

文献1“Zhou L,Kambhamettu C.Extending Superquadrics with Exponent Functions:Modeling and Reconstruction.Graphical Models,1999,63(1):1-20.”和文献2“周林.扩展超二次曲面：一种新的光滑变形曲面模型.电子学报,1998,26(8):47-50.”公开了一种隐式曲线曲面的定义方法。这两个文献将超二次曲线或曲面的变形参数扩展为极坐标或球坐标中角度的函数，使用参数较少且局部表达能力较强。然而，该方法所定义的扩展超二次曲线和扩展超二次曲面在变形过程中必然要分别经过坐标轴上的四个确定点和六个确定点，在很大程度上限制了它们的表达能力和变形能力。

发明内容

本发明提的目的是针对上述现有技术的缺点，提供一种自由光滑变形隐式曲线的定义方法，不仅可以使用少量参数描述非对称复杂模型，还可以自由光滑地变形，也即在光滑变形过程中不受任何确定点的约束。

本发明的技术方案是这样实现的：一种自由光滑变形隐式曲线的定义方法包括以下步骤：

步骤一、用隐式形式定义直角坐标系下的超二次曲线，超二次曲线的隐式方程为：

式中，ε为超二次曲线的变形参数，a和b为两个主轴方向的半轴长，这三个参数均为正实数；

步骤二、将超二次曲线的半轴长扩展为极坐标中角度的函数，扩展后的超二次曲线的隐式方程为：

式中，θ为极坐标中的极角，f(θ)为极角θ的连续函数且其值大于0；

步骤三、结合B样条基函数将f(θ)构建成光滑连续的函数，函数f(θ)的表达式为：

式中，N_i,p(ξ)为B样条基函数，n是B样条基函数的个数，p是B样条基函数的次数，ξ为参数区域坐标，ξ的取值范围为[0,1)，P_i为控制参数，P_i为大于0的标量且P₁等于P_n；

步骤四、将极角θ转换为直角坐标(x,y)的函数，利用反正切函数将公式(3)的参数θ转换为：

式中，sgn(x)为x的符号函数，极角θ的值域为[-π/2,3π/2)；

步骤五、将公式(3)和公式(4)代入公式(2)即定义出能够自由且光滑变形的隐式曲线；

步骤六、将步骤五定义的隐式曲线应用于逆向工程中，对给定非对称模型进行重构，以展现该隐式曲线的表达能力。给定被重构几何模型并在其边界上选取一系列采样点(X_j,Y_j)，定义如下目标函数：

式中，m为采样点的个数，半轴长函数f(θ(X_j,Y_j))展开如下：

以公式(5)所定义的函数J为优化目标，以变形参数ε和控制参数P_i为设计变量，选用非线性优化算法进行优化，该优化问题的数学模型为：

规定优化设计的迭代终止条件，使用优化后的变形参数ε和控制参数P_i，即可构建出逼近所选几何模型的隐式曲线。

本发明将超二次曲线的半轴长扩展为极坐标中角度的函数，所定义的新型扩展超二次曲线不仅可以使用少量参数描述非对称复杂模型，还可以自由光滑地变形，也即在光滑变形过程中不受任何确定点的约束。

附图说明