[发明专利]三自由度直升机显式模型预测控制方法

权利要求书

1.三自由度直升机显式模型预测控制方法，包括如下步骤：

步骤1)针对Quanser公司生产的三自由度直升机模型建立三自由度直升机系统数学模型；

该三自由度直升机模型的三个旋转轴分别为高度轴，俯仰轴，旋转轴，对应的角度为高度角ε、俯仰角p、旋转角λ；

根据三自由度直升机的动力学方程，选取高度角ε、俯仰角p、旋转角λ以及它们各自的微分为状态变量x，即：

选取输入向量u和输出向量y分别为：u^T＝[U_f U_b]，y^T＝[ε p λ]，其中T表示矩阵的转置，建立相应状态空间方程

其中：

其中各参数含义及数值详见表1，代入表1所示具体参数，最后得到状态方程的系数为：

表1高度轴相关参数表

步骤2)基于第一步得到的状态空间模型，构建相应的多参数二次规划问题MPQP；

将第一步得到的状态空间方程离散化为如下线性时不变系统(2)：

系统的状态约束和控制输入约束条件如下：

Ex(t)+Lu(t)≤M t≥0 (3)

式(2)中，x(t)∈Rⁿ为系统状态，u(t)∈R^m为系统的输入向量，y(t)∈R^p为系统的输出向量，E,L,M为已知的常数矩阵

定义二次性能目标函数(4)：

其中U_N是问题(5)的决策向量，x(0)为0初始状态，x_N为第N个参数向量，x_k为第k个参数向量，u_k为第k个控制向量，P,Q,R分别为对应的权函数矩阵，其选取需依靠工程经验；约束线性时不变系统的有限时间最优控制问题(5)：

最优控制问题(5)中，表示系统状态的终点约束条件，N表示控制时域的长度，x₀为系统的初始状态；为保证系统的可行性、稳定性，在此增加了约束条件x_N∈χ_f，χ_f为多面体区域：

χ_f＝{x∈Rⁿ|H_fx≤K_f} (6)

U_N＝[u₀′,...,u_N-1′]′∈R^s,s＝m·N，是问题(5)的决策向量，m表示约束条件的个数；是所有满足(5)中约束条件的x(0)的集合；使Ex+Lu≤M，Ax+Bu∈χ_j+1},j＝0,…,N-1；在此，χ_j为集合，用来表示j时刻的可行状态；

对于最优控制问题(5)，由式(2)可得：

式(7)表明，任何的状态x_k都可以通过控制向量u₀,…,u_k-1及系统的初始状态x₀的线性组合来表示；

将式(7)代入式(4)、式(5)中，得到下式：

其中H＝H′＞0,H,F,G,W,E,Y可以由式(4)、式(5)和式(7)计算得到；由于式(8)中项不影响优化向量U_N的计算，因此可忽略；

接着，继续简化式(8)，定义：

Z＝U_N+H^-1F′x(0) (9)

Z为U_N和x(0)的线性组合，代入式(8)后得到：

其中：S＝E+GH^-1F′，而从式(8)或式(10)的问题容易得出，最优决策向量U^*(x(0))取决于x(0)，也就是当x(0)不断变化时，的值也将随之改变；

步骤3)离线求解MPQP问题，得到系统的状态分区以及对应分区上的线性控制律；

求解一个MPQP问题，主要包含以下两部分：

A1.得到包含可行参数集K^*的最小仿射子空间K；

A2.得到参数集K^*的临界域CR_A划分，找到函数J^*(·)和一个PWA最优值函数z^*(·)；

给定一个参数的多面体集

K＝{x∈Rⁿ:Tx≤Z} (11)

用表示使MPQP问题(10)可行的参数域，其中参数x∈K；对任意给定的表示MPQP问题(10)最小的目标函数值，且而函数J^*:K^*→R表示在参数域K^*上，参数x对目标函数的最小值的影响；J^*(·)被称为价值函数；我们的目标是：得到参数的可行域价值函数的表达式和最优值的表达式z^*(x)∈Z^*(x)

定义可行域χ₀为凸多面体域，即χ₀为χ₀＝{x∈Rⁿ|H₀x≤K₀}，为x(0)的PWA函数，因而也为x(0)的PWA函数，即：

其中：为多面体集，且当i≠j

如果对于MPQP问题(10)，H＞0；则为x(0)的分段二次连续函数，所以

也是x(0)分段二次连续函数，即：

根据模型预测控制的算法原理，问题(5)的最优决策向量中的就是每一个时刻对应得作用于被控对象的控制量，也为x(0)的PWA函数；

因为系统为时不变系统，且MPC系统中每个时刻的反馈控制信号都是分段线性的，所以可得：

其中F_t,G_t，N_t,R_t为第t个状态分区所对应的常数矩阵，闭环的控制系统可转化为如下形式(15):

当x(t)∈CRⁱ,i＝1,…,t≥0时，式(15)为闭环预测控制系统的PWA模型；

步骤4)在线运行时，根据当前的系统状态，通过查表方法，确定状态所在的分区，并提取出该分区对应的控制律；

离线计算得到描述状态分区信息的数据H_i、K_i矩阵以及F_i、G_i矩阵，F_i、G_i矩阵用来描述控制律u关于状态x(t)的显式表达式；

其中M代表状态分区的个数，F_i,G_i,H_i,K_i为第i个分区所对应的常数矩阵，其数值由步骤3求得；

分区P₁的边界由4条直线L₁～L₄确定；

其中：

L₁:h₁₁x₁+h₁₂x₂＝k₁

L₂:h₂₁x₁+h₂₂x₂＝k₂

L₃:h₃₁x₁+h₃₂x₂＝k₃

L₄:h₄₁x₁+h₄₂x₂＝k₄

其中h₁₁,h₁₂,h₂₁,h₂₂,h₃₁,h₃₂,h₄₁,h₄₂,k₁,k₂,k₃,k₄为已知常数，可知分区P1位于直线L1和L3的下方，位于L2和L4的上方，即：

P₁＝{H₁X≤K₁} (17)

则对于状态空间中的任一点X，X∈P₁，当且仅当H₁X≤K₁；

H₁和K₁分别是N_ci×N_x和N_ci×1的矩阵，N_ci表示分区边界处超平面个数，N_x表示状态变量的个数；

采用顺序查找法来解决在线查表问题，从编号为1的第一个分区开始，依次逐个利用式(17)判断所要定位的点是否在当前分区内，直到找到正确的分区或判断完最后一个分区为止；

步骤5)把所设计的显式模型预测控制器接入三自由度直升机实验平台中，形成闭环回路，对不稳定的飞行系统进行调节控制实验。