[发明专利]超奈奎斯特采样系统中二元信号重建的平滑函数和方法

说明书

技术领域

本发明超奈奎斯特采样系统中二元信号重建的平滑函数和方法。

背景技术

近年来在信号处理中一个新的研究方向称为压缩感知，或者叫做压缩采样。压缩 感知最早运用于信号采样和压缩中，后来被广泛应用于信号处理的各个领域中。传统的信 号处理方法是基于Nyquist(奈奎斯特)采样定律的一种方法。假设信号带宽为f，根据 Nyquist采样定律，采样频率至少为2f。对于一些拥有很高带宽的信号，比如图像信号，就需 要极高的采样速率。这不仅对采样设备提出了极高的要求，而且对后续的存储、传输、处理 带来了极大的压力，于是新技术应运而生。在压缩技术中，一种常用的方法称为变换域编 码。

假设采样的信号为x，而x可以在一个变换域Φ表示成如下的形式：x＝ψθ。

如果θ中只有K个非零值，此时称信号θ是K稀疏的，即稀疏度表示θ中非零元素的个 数。如果θ中大幅值的项很少，称信号x是可压缩的。此时只需对较少的非零值或者大幅值的 项编码，而丢弃其余的项。在一定信息损失的条件下，能够大大减少所需存储和传输的数据 量。然而该方法需要额外的比特数对非零值或者大幅值所在的位置进行编码，这就需要额 外的开销，其原理如图1所示。从图中可以发现该方法对发送端设备要求很高，二队接收端 的要求比较低。此时的关键在于如何获得这样一个变换域ψ，该问题也称为信号的稀疏表 示。

在压缩感知中，对原信号x随机降采样获得信号y，即y＝Φx，其中Φ是采样矩阵。 只要信号x是稀疏的或者可压缩的，就能从y中重构出信号x。所需传输的数据量和变换域编 码方法比较，只是多了一个常数因子C倍，而两者重构的信号的质量是相同的。与传统的 Nyquist采样系统不同，压缩感知以一个较低的速率采样，采样的过程即完成信号的压缩。 传统的采样方式是A-D的采样方式，而压缩感知完成了A-I采样，因此压缩感知的采样速率 和数据的信息量相关。压缩感知方法把信号处理的难度从发送端后移到接收端，而这符合 实际情形。此时，接收端的信号维数要少于发送端的信号数目，对应于超奈奎斯特采样系 统。

在现有的算法中，遗传算法、分支定界算法和半定规划算法等都可以实现对采样 的信号为x的求解。

遗传算法中的可行解相当于自然界中的生物，而目标函数则相当于自然法则。一 般来说，对于一个组合优化问题，遗传算法能够找到一个较好的解，但对于大规模求解问题 遗传算法很难获得全局最优解。然而，一个较好的解对于求解采样的信号为x来说还不够 好。

分枝定界算法是整数规划中的常用方法，该方法能够找到全局最优解。但分枝定 界算法的复杂度接近穷举法，因此很难应用到大规模求解问题之中。

半定规划算法是将原始优化问题变型，使其符合某种特定形式后，再进一步求解。 半定规划算法的精度很高，但其计算复杂度仍然不能令人满意。

综合来看，上述算法的精度——复杂度代价都很高。

发明内容

针对上述问题，本发明提供一种精度高、计算复杂度低的应用于超奈奎斯特采样 系统中二元信号重建的平滑函数和方法。

为达到上述发明目的，本发明超奈奎斯特采样系统中二元信号重建的平滑函数和 方法，包括：

获取接收端的低维信号y；

构建低维信号y与二元高维信号x的方程式，方程式如下：

findx

P_O表示无噪情况下二元字符集约束下欠定方程求解的优化问题，其中y为接收信号，A为系统对应的传输矩阵，x为待重构的发送信号，表示n维二元有效字符集；

当存在加性噪声时，低维信号y与二元高维信号x对应的优化问题为：

findx

其中噪声表示高斯分布，||·||₂表示2范数，∈为一个与σ有关的正常数。

表示带噪情况下二元字符集约束下欠定方程求解的优化问题；

基于二元信号重构中信号的二元性，对于则有

||x+1||₀+||x-1||₀

＝n-card{x_i，1≤i≤n|x_i＝1}+n-card{x_i，1≤i≤n|x_i＝-1}