[发明专利]一种大整数乘法Karatsuba算法的并行实现方法

说明书

本发明公开了一种大整数乘法Karatsuba算法的并行实现方法，基于64位无符号长整型整数操作，通过巧妙的公式转换技巧，指针运算以及存储方式，以解决部分积存储与计算的相关性问题，通过OpenMP多线程编程，采用section任务分担策略将算法进行并行化，从而开启8个线程在递归程序的第一层并行求取8个部分积，每个section负责一个部分积的计算任务，待部分积均求取完毕后进行串行归并，从而并行化Karatsuba算法，提高算法效率。

技术领域

本发明涉及一种大整数乘法Karatsuba算法的并行实现方法，通过开启多个线程并行计算，提高计算机多核利用率，从而提高算法效率。

背景技术

Karatsuba算法是当大整数数位较小时调用的重要底层大整数快速乘法算法，该算法应用非常广泛，其通过分治思想以及巧妙的运算技巧以加减运算代替部分乘法运算，降低了算法计算时间复杂度，然而该运算本身在运行时仍然具有较大空间开销和时间开销，尤其当数据达到一定规模时，其内存空间和计算时间的消耗将是巨大的。因此提高Karatsuba算法的性能尤为必要。Karatsuba算法作为重要的大整数底层乘法运算如果能够提高运行速度，整个计算的运行效率将会大大改善，在实际应用中也有着十分重要的作用。

伴随着多核处理器和加速部件的普及，通过充分挖掘算法本身的并行度将算法并行化，高效地提升算法性能，已经成为一种行之有效的方法。目前Karatusba算法优化方面，Tudor Jebelean曾在9核paclib计算机中将算法进行3线程和9线程并行，其中基为2²⁹，与串行算法相比，3线程并行最高可达2.93倍加速，9线程最高可达7.98倍加速，该并行算法虽然有较好的性能加速，但性能平台依赖性大，数据表示能力受到限制。

Karatsuba算法基于分治思想，将参与运算的乘数与被乘数进行拆分，通过运算技巧将部分乘法操作转换为加减操作，表述如下：假设乘数u、被乘数v均为2n位，拆分为两部分后分别为u₁、u₀和v₁、v₀，位数均为n，R为基，则u、v可分别表示成如(1)、(2)所示：

u＝u₁*Rⁿ+u₀ (1)

v＝v₁*Rⁿ+v₀ (2)

则由公式(1)和(2)得：

r＝u*v＝u₁*v₁*R²ⁿ+(u₁*v₀+u₀*v₁)Rⁿ+u₀*v₀ (3)

由公式(3)可转化为如下公式：

r＝u₁*v₁*R²ⁿ+[u₁*v₁+u₀*v₀-(u₁-u₀)*(v₁-v₀)]Rⁿ+u₀*v₀ (4)

基于公式(4)，可将2n位的大整数乘法转换成3个n位的大整数乘法以及若干次加法和减法运算，减少单精度乘法的次数，而部分积也可采用相似的方法求解，从而提高算法执行效率。

Tudor Jebelean所提出的并行化Karatusba算法策略虽然已经达到了很好的效果，但是其实现时基为2²⁹，数据表达能力受到限制，且受限于机器平台的核数为3或9时性能达到最优。

发明内容