[发明专利]考虑铁损的电动汽车永磁同步电机命令滤波模糊控制方法

权利要求书

1.考虑铁损的电动汽车永磁同步电机命令滤波模糊控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

a建立考虑铁损的永磁同步电机的动态模型：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d\ω}}_{\mathrm{\γ}}}{dt}=\frac{n_p{\mathrm{\λ}}_{PM}}{J}{i}_{oq}-\frac{T_L}{J}\\ \frac{{\mathrm{di}}_{oq}}{dt}=\frac{R_c}{L_{mq}}{i}_q-\frac{R_c}{L_{mq}}{i}_{oq}-\frac{n_p{L}_d}{L_{mq}}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\γ}}{i}_{od}-\frac{n_p{\mathrm{\λ}}_{PM}}{L_{mq}}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\γ}}\\ \frac{{\mathrm{di}}_q}{dt}=-\frac{R_1}{L_{lq}}{i}_q+\frac{R_c}{L_{lq}}{i}_{oq}+\frac{1}{L_{lq}}{u}_q\\ \frac{{\mathrm{di}}_{od}}{dt}=\frac{R_c}{L_{md}}{i}_d-\frac{R_c}{L_{md}}{i}_{od}+\frac{n_p{L}_q}{L_{md}}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\γ}}{i}_{oq}\\ \frac{{\mathrm{di}}_d}{dt}=-\frac{R_1}{L_{ld}}{i}_d+\frac{R_c}{L_{ld}}{i}_{od}+\frac{1}{L_{ld}}{u}_d\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，ω_γ表示电机角速度，n_p表示极对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩；i_d和i_q表示d-q轴定子电流；u_d和u_q表示d-q轴定子电压；i_od和i_oq表示d-q轴励磁电流分量；L_d和L_q表示d-q轴电感；L_ld和L_lq表示d-q轴漏感；L_md和L_mq表示d-q轴励磁电感；R₁和R_c表示定子电阻和铁心损耗电阻；λ_PM是转子永磁体的励磁磁通；

为简化永磁同步电机的动态模型，定义新的变量：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\γ}},x_2=i_{oq},x_3=i_q,x_4=i_{od},x_5=i_d,L_d=L_q\\ a_1=n_p{\mathrm{\λ}}_{pM},b_1=R_c/L_{mq},b_2=-n_p{L}_d/L_{mq},b_3=-n_p{\mathrm{\λ}}_{pM}/L_{mq}\\ b_4=-R_1/L_{lq},b_5=R_c/L_{lq},c_1=1/L_{lq},L_{ld}=L_{lq},L_{md}=L_{mq}\end{array}\right.---\left(2\right)$

永磁同步电机的动态数学模型用如下方程来表示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=a_1{x}_2/J-T_L/J\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=b_1{x}_3-b_1{x}_2+b_2{x}_1{x}_4+b_3{x}_1\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=b_4{x}_3+b_5{x}_2+c_1{u}_q\\ {\stackrel{\·}{x}}_4=b_1{x}_5-b_1{x}_4-b_2{x}_1{x}_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_5=b_4{x}_5+b_5{x}_4+c_1{u}_d\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，

b设计一种考虑铁损的永磁同步电机驱动系统的控制方法，永磁同步电机的动态数学模型简化为两个近似独立的子系统，即由状态变量(x₁，x₂，x₃)和控制输入u_q组成的子系统以及由状态变量(x₄，x₅)和控制输入u_d组成的子系统；

定义跟踪误差变量为z₁＝x₁-x_1d，z₂＝x₂-x_1,c，z₃＝x₃-x_2,c，z₄＝x₄，z₅＝x₅-x_4,c；

定义x_1d为期望的速度信号，α₁,α₂,α₄为虚拟控制信号，x_1,c,x_2,c,x_4,c为命令滤波输出，k₁,k₂,k₃,k₄,k₅为正的设计参数；

控制方法设计的每一步都会选取一个合适Lyapunov函数构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律：控制方法的设计具体包括以下步骤：

b.1根据方程对z₁求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：对V₁求导得到：

${\stackrel{\·}{V}}_1=z_1(a_1{x}_2-T_L-J{\stackrel{\·}{x}}_{1d})---\left(4\right)$

选择由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₁，存在模糊逻辑系统使得非线性函数其中，δ₁表示逼近误差，并满足不等式|δ₁|≤ε₁，，定义其中，变量分别为模糊权向量W₁，W₂，W₃，W₄，W₅的估计值，是估计误差；

S(Z)＝[s₁(Z),s₂(Z),…,s_l(Z)]^T为基向径函数，s_i(Z)选用高斯函数如下：

$s_i\left(Z\right)=\exp \[\frac{-{(Z-{\mathrm{\μ}}_i)}^T(Z-{\mathrm{\μ}}_i)}{{{\mathrm{\η}}^2}_i}\],i=1,2,...,l$

式中，μ_i＝[μ_i1,…,μ_iq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_i则为其宽度；

构建虚拟控制函数

按照公式(5)，将公式(4)改写为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1=z_1\[a_1(z_2+x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_1)+W_1^T{S}_1+{\mathrm{\δ}}_1\]=z_1\[a_1{z}_2+a_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)-k_1{z}_1+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^T{S}_1+{\mathrm{\δ}}_1\]\\ =-k_1{z}_1^2+a_1{z}_1{z}_2+a_1{z}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+z_1({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^T{S}_1+{\mathrm{\δ}}_1)\end{array}---\left(6\right)$

b.2根据方程对z₂求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：对V₂求导得：

${\stackrel{\·}{V}}_2={\stackrel{\·}{V}}_1+z_2{\stackrel{\·}{z}}_2={\stackrel{\·}{V}}_1+z_2(b_1{x}_3+b_2{x}_1{x}_4+b_3{x}_1-b_1{x}_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1,c})---\left(7\right)$

选择f₂(Z₂)＝b₂x₁x₄+b₃x₁-b₁x₂，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₂，存在模糊逻辑系统使得非线性函数其中，δ₂表示逼近误差，并满足不等式|δ₂|≤ε₂；

构建虚拟控制函数

按照公式(8)，将公式(7)改写为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2={\stackrel{\·}{V}}_1+z_2\[b_1(z_3+x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\α}}_2)+f_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1,c}\]\\ =-k_1{z}_1^2-k_2{z}_2^2+a_1{z}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+b_1{z}_2(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+b_1{z}_2{z}_3+z_1({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^T{S}_1+{\mathrm{\δ}}_1)+z_2({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{S}_2+{\mathrm{\δ}}_2)\end{array}---\left(9\right)$

b.3根据方程对z₃求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：对V₃求导得到：

${\stackrel{\·}{V}}_3={\stackrel{\·}{V}}_2+z_3{\stackrel{\·}{z}}_3={\stackrel{\·}{V}}_2+z_3(b_4{x}_3+b_5{x}_2+c_1{u}_q-{\stackrel{\·}{x}}_{2,c})---\left(10\right)$

选择f₃(Z₃)＝b₄x₃+b₅x₂，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₃，存在模糊逻辑系统使得非线性函数其中，δ₃表示逼近误差，并满足不等式|δ₃|≤ε₃；

构建真实的控制律

按照公式(11)，将公式(10)改写为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_3={\stackrel{\·}{V}}_2+z_3(f_3+c_1{u}_q-{\stackrel{\·}{x}}_{2,c})=-k_1{z}_1^2-k_2{z}_2^2-k_3{z}_3^2+a_1{z}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+b_1{z}_2(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+b_1{z}_2{z}_3\\ +z_1({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^T{S}_1+{\mathrm{\δ}}_1)+z_2({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{S}_2+{\mathrm{\δ}}_2)+z_3({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_3^T{S}_3+{\mathrm{\δ}}_3)\end{array}---\left(12\right)$

b.4根据方程对z₄求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：对V₄求导得到

选择f₄(Z₄)＝-b₁x₄-b₂x₁x₂，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₄，存在模糊逻辑系统使得非线性函数其中，δ₄表示逼近误差，并满足不等式|δ₄|≤ε₄；

${\stackrel{\·}{V}}_4=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i{z}_i^2+\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T{S}_i+{\mathrm{\δ}}_i)+a_1{z}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+b_1{z}_2(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+z_4(b_1{x}_5+f_4)---\left(13\right)$

构建虚拟控制函数

按照公式(14)，将公式(13)改写为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_4=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i{z}_i^2+\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T{S}_i+{\mathrm{\δ}}_i)+a_1{z}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+b_1{z}_2(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+z_4\[b_1(z_5+x_{4,c}-{\mathrm{\α}}_4+{\mathrm{\α}}_4)+f_4\]\\ =-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i{z}_i^2+\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T{S}_i+{\mathrm{\δ}}_i)+a_1{z}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+b_1{z}_2(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+b_1{z}_4{z}_5+b_1{z}_4(x_{4,c}-{\mathrm{\α}}_4)\end{array}$

b.5根据方程对z₅求导得到误差动态方程：选择Lyapunov函数：

对V₅求导得到

选择f₅(Z₅)＝b₄x₅+b₅x₄，由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₅，存在模糊逻辑系统使得非线性函数其中，δ₅表示逼近误差，并满足不等式|δ₅|≤ε₅；

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_5^T=-\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i{z}_i^2+\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T{S}_i+{\mathrm{\δ}}_i)+a_1{z}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+b_1{z}_2(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+b_1{z}_4(x_{4,c}-{\mathrm{\α}}_4)\\ +b_1{z}_4{z}_5+z_5(f_5+c_1{u}_d-{\stackrel{\·}{x}}_{4,c})\end{array}---\left(15\right)$

构建真实的控制律

按照公式(16)，将公式(15)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}_5^T=-\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i{z}_i^2+\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T{S}_i+{\mathrm{\δ}}_i)+a_1{z}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+b_1{z}_2(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+b_1{z}_4(x_{4,c}-{\mathrm{\α}}_4)$

b.6构建Lyapunov函数为：对V⁽¹⁾求导得到：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}^{\left(1\right)}={\stackrel{\·}{V}}_5+\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{r_i}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T(-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_i)=-\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i{z}_i^2+\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{z}_i{\mathrm{\δ}}_i+\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{r_i}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T(r_i{z}_i{S}_i-{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_i)\\ +a_1{z}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+b_1{z}_2(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+b_1{z}_4(x_{4,c}-{\mathrm{\α}}_4)\end{array}---\left(17\right)$

选择相应的自适应律

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_1=r_1{z}_1{S}_1-m_1{\widehat{\mathrm{\θ}}}_1,{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_2=r_2{z}_2{S}_2-m_2{\widehat{\mathrm{\θ}}}_2,{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_3=r_3{z}_3{S}_3-m_3{\widehat{\mathrm{\θ}}}_3,{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_4=r_4{z}_4{S}_4-m_4{\widehat{\mathrm{\θ}}}_4,{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_5=r_5{z}_5{S}_5-m_5{\widehat{\mathrm{\θ}}}_5---\left(18\right)$

其中，r₁,r₂,r₃,r₄,r₅,m₁,m₂,m₃,m₄,m₅均为大于零的常数；

根据杨氏不等式，得到：

$z_i{\mathrm{\δ}}_i\≤\frac{1}{2}{z}_i^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_i^2---\left(19\right)$

按照公式(18)和(19)，将公式(17)改写为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}^{\left(1\right)}\≤-\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}(k_i-\frac{1}{2})z_i^2+\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_i^2+\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}\frac{m_i}{r_i}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_i\\ +a_1{z}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+b_1{z}_2(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+b_1{z}_4(x_{4,c}-{\mathrm{\α}}_4)\end{array}---\left(20\right)$

同样，由杨氏不等式得到：

${\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_i\≤-\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i+\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}_i^T{\mathrm{\θ}}_i---\left(21\right)$

按照公式(21)，将公式(20)改写为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}^{\left(1\right)}\≤-\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}(k_i-\frac{1}{2})z_i^2+\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}_i^2-\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}\frac{m_i}{2r_i}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i+\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}\frac{m_i}{2r_i}{\mathrm{\θ}}_i^T{\mathrm{\θ}}_i\\ +a_1{z}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+b_1{z}_2(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+b_1{z}_4(x_{4,c}-{\mathrm{\α}}_4)\end{array}$

根据|x_id-α_i|＜μ，其中，μ是任意小的正数，以及a₁,b₁≤ρ，且ρ是正常数，得到：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1{z}_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)\<\frac{1}{2}(z_1^2+{\mathrm{\μ}}^2{\mathrm{\ρ}}^2)\\ b_1{z}_2(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)\<\frac{1}{2}(z_2^2+{\mathrm{\μ}}^2{\mathrm{\ρ}}^2)\\ b_1{z}_4(x_{4,c}-{\mathrm{\α}}_4)\<\frac{1}{2}(z_4^2+{\mathrm{\μ}}^2{\mathrm{\ρ}}^2)\end{array}\right.---\left(22\right)$

得到：

b.7定义补偿信号如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1=\[a_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+a_1{\mathrm{\ξ}}_2-k_1{\mathrm{\ξ}}_1\]/J\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_2=b_1(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+b_1{\mathrm{\ξ}}_3-k_2{\mathrm{\ξ}}_2-a_1{\mathrm{\ξ}}_1\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_3=-b_1{\mathrm{\ξ}}_2-k_3{\mathrm{\ξ}}_3\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_4=b_1(x_{4,c}-{\mathrm{\α}}_4)+b_1{\mathrm{\ξ}}_5-k_4{\mathrm{\ξ}}_4\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_5=-b_1{\mathrm{\ξ}}_4-k_5{\mathrm{\ξ}}_5\end{array}\right.---\left(23\right)$

其中，ξ(0)＝0，||ξ_i||是有界的，如果t趋近于∞，有其中，由命令滤波器的定义可知，常数μ＞0，常数ρ＞0，

设计跟踪补偿误差ν_i＝z_i-ξ_i，闭环系统的跟踪误差的微分方程写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=\[a_1(x_{1,c}-{\mathrm{\α}}_1)+a_1{z}_2-k_1{z}_1+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^T{S}_1+{\mathrm{\δ}}_1\]/J\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=b_1(x_{2,c}-{\mathrm{\α}}_2)+b_1{z}_3-k_2{z}_2-a_1{z}_1+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{S}_2+{\mathrm{\δ}}_2\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=-b_1{z}_2-k_3{z}_3+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_3^T{S}_3+{\mathrm{\δ}}_3\\ {\stackrel{\·}{z}}_4=b_1(x_{4,c}-{\mathrm{\α}}_4)+b_1{z}_5-k_4{z}_4+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_4^T{S}_4+{\mathrm{\δ}}_4\\ {\stackrel{\·}{z}}_5=-b_1{z}_4-k_5{z}_5+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_5^T{S}_5+{\mathrm{\δ}}_5\end{array}\right.---\left(24\right)$

得到：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{v}}_1=(a_1{v}_2-k_1{v}_1+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1^T{S}_1+{\mathrm{\δ}}_1)/J\\ {\stackrel{\·}{v}}_2=b_1{v}_3-k_2{v}_2-a_1{v}_1+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{S}_2+{\mathrm{\δ}}_2\\ {\stackrel{\·}{v}}_3=-b_1{v}_2-k_3{v}_3+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_3^T{S}_3+{\mathrm{\δ}}_3\\ {\stackrel{\·}{v}}_4=b_1{v}_5-k_4{v}_4+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_4^T{S}_4+{\mathrm{\δ}}_4\\ {\stackrel{\·}{v}}_5=-b_1{v}_4-k_5{v}_5+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_5^T{S}_5+{\mathrm{\δ}}_5\end{array}\right.---\left(25\right)$

c对建立的考虑铁损的永磁同步电机驱动系统的控制方法进行稳定性分析

选取新的Lyapunov函数对其求导得到：

${\stackrel{\·}{V}}^{\left(2\right)}=-\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i{v}_i^2+\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T}{r_i}(r_i{v}_i{S}_i-{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_i)+\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{v}_i{\mathrm{\δ}}_i---\left(26\right)$

选择自适应律为

根据杨氏不等式，得到：

按照公式(27)和(28)，公式(26)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}^{\left(2\right)}=-\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i{v}_i^2+\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}\frac{m_i}{r_i}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_i+\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{v}_i{\mathrm{\δ}}_i\≤-\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}(k_i-\frac{1}{2})v_i^2+\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}\frac{m_i}{r_i}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_i+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_i---\left(29\right)$

同理，根据将公式(29)改写为：

${\stackrel{\·}{V}}^{\left(2\right)}\≤-\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i{v}_i^2-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}\frac{m_i}{r_i}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_i^T{\widehat{\mathrm{\θ}}}_i+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}\frac{m_i}{r_i}{\mathrm{\θ}}_i^T{\mathrm{\θ}}_i+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_i\≤-{\mathrm{aV}}^{\left(2\right)}+b---\left(30\right)$

其中，

因此，得到：

${\stackrel{\·}{V}}^{\left(2\right)}\left(t\right)\≤\left(V^{\left(2\right)}\right(t_0)-\frac{b}{a})e^{-a(t-t_0)}+\frac{b}{a}\≤V^{\left(2\right)}\left(t_0\right)+\frac{b}{a},\∀t\≥t_0---\left(31\right)$

因此，ν_i和有界的，因为是θ常数，所以是有界的，又因为z_i＝ν_i+ξ_i，||ξ_i||是有界的，因此z_i也是有界的；

因此x(t)和其他所有控制信号在任何时间段内都是有界的，由公式(31)得到：