[发明专利]一种基于勒让德多项式的铣削稳定性预测方法

权利要求书

1.一种基于勒让德多项式的铣削稳定性预测方法，其特征在于其包括以下步骤：

①建立铣刀在单自由度铣削过程中的动力学方程：

x·(t)=Ax(t)+B(t)x(t)-B(t)x(t-τ)---(1)]]>

其中，为常系数矩阵，为随时间周期变化的系数矩阵，x(t)表示刀具在t时刻的状态响应，ω_n表示刀尖点的固有频率，ζ表示相对阻尼，m_t表示模态质量，w表示轴向切削深度，τ表示时滞；

h(t)表示瞬时切屑厚度，其表达式为：

h(t)=Σj=1Ng(φj(t))sin((φj(t))[Ktcos(φj(t))+Knsin(φj(t))]]]>

(2)式(2)中，N表示铣刀的刀齿数目，K_t和K_n分别为切向和法向的切削力系数，φ_j(t)为第j刀齿的角位移，表达式为φ_j(t)＝(2πΩ/60)t+(j-1).2π/N，窗函数g(φ_j(t))定义式为：

式(3)中，φ_st和φ_ex分别为第j刀齿的切入和切出角，当采用顺铣时，φ_st＝arccos(2a_e/D-1)，φ_ex＝π；当采用逆铣时，φ_st＝0，φ_ex＝arccos(1-2a_e/D)，a_e/D为径向浸入比，即径向切深/刀具直径的比值；

②将单自由度的铣削过程动力学方程(1)的时滞项τ平均分为m个小区间，则时间步长为其中任意一个时间小区间表示为[t_i，t_i+1|，i＝1，2，3，…m，

将方程(1)在时间小区间[t_i，t_i+1]上进行积分，得到

xi+1=eAΔtxi+∫titi+1eA(ti+1-s)[B(s)x(s)-B(s)x(s-τ)]ds---(4)]]>

③通过构建一次勒让德多项式来拟合步骤②中式(4)的状态项x(s)、时滞状态项x(s-τ)和随时间变化的周期系数项B(s)，具体过程如下：

勒让德多项式的一般表示式为：

Pn(x)=12nn!dndxn[(x2-1)n]---(5)]]>

具体表达式为：

P₀(x)＝1(6)

P₁(x)＝x(7)

P2(x)=12(3x2-1)---(8)]]>

……

令当x在区间[a，b]上变化时，对应的z在[-1，1]上变化，变换后的表达式为：

z=2x-(b+a)b-a---(9)]]>

对勒让德多项式进行区间变换以后，得到新的多项式可以表示如下：

P~n(x)=Pn(z)=Pn(2x-(b+a)b-a),(n=0,1,...)---(10)]]>

利用区间变换后的勒让德多项式对已知点进行拟合，可以用(11)式进行表示：

x(s)=Σk=0nak·P~k(s)---(11)]]>

其中多项式系数可以通过下式进行计算：

ak=(x,P~k)(P~k,P~k)=Σj=imωjxjP~k(sj)Σj=ii=1ωjP~k2(sj),(k=0,1,...,n.)---(12)]]>

其中ω_j为权值函数，ω_j≡1，x_j是时间点t_j的响应

对于任意的时间小区间|t_i，t_i+1|，i＝1，2，3，…m，利用(9)式将该时间区间变换到[-1，1]区间上，取前两项变换后的勒让德多项式，来拟合方程(4)中的状态项经过区间变换可以得到

P~n(s)=Pn(2s-(ti+1+ti)ti+1-ti),(n=0,1.)---(13)]]>

用时间变量t作为自变量，则变换后的多项式可以写为：

P~0(s)=1;---(14)]]>

P~1(s)=2s-(ti+1+ti)ti+1-ti---(15)]]>

通过上述两项多项式，可以将状态项表示为：

x(s)=a0·P~0(s)+a1·P~1(s)---(16)]]>

通过(12)式，并代入时间点t_i、t_i+1和其对应的响应值x_i、x_i+1，系数a₀和a₁可以表示为

a0=xi+xi+12,---(17a)]]>

a1=Σj=ii+1xj·[2tj-(ti+ti+1)ti+1-ti]Σj=ii+1[2tj-(ti+ti+1)ti+1-ti]2---(17b)]]>

令t_i＝0，t_i+1＝Δt，a₁可以简化为

可以简化为：

则

类似的，时滞状态项x(s-τ)和周期系数矩阵B(s)可以表示为：

x(s-τ)=(1-sΔt)·xi-m+sΔt·xi-m+1---(19)]]>

B(s)=(1-sΔt)·Bi+sΔt·Bi+1---(20)]]>

④构建Floquet转移矩阵；

将(18)、(19)、(20)式代入(4)式，可得

X_i+1＝F₀x_i+(G₁₁B_i+G₁₂B_i+1)x_i+(G₁₂B_i+G₁₃B_i+1)x_i+1-(G₁₁B_i +G₁₂B_i+1)X_i-m-(G₁₂B_i+G₁₃B_i+1)x_i+1-m (21)

其中

G11=1(Δt)2[(Δt)2·F1-2Δt·F2+F3]---(22a)]]>

G12=1(Δt)2[Δt·F2-F3]---(22b)]]> 3

G13=1(Δt)2·F3---(22c)]]>

F₀＝e^AΔt (23a)

F1=∫titi+1eA(ti+1-s)ds=∫0ΔteA(Δt-s)ds=(F0-I)A-1---(23b)]]>

F2=∫titi+1eA(ti+1-s)(s-ti)ds=∫0ΔteA(Δt-s)sds=(F1-(Δt)I)A-1---(23c)]]>

F3=∫titi+1eA(ti+1-s)(s-ti)2ds=∫0ΔteA(Δt-s)s2ds=(2F2-(Δt)2I)A-1---(23d)]]>

方程(21)可写为

x_i+1＝P_i[(F₀+G₁₁B_i+G₁₂B_i+1)x_i-(G₁₂B_i+G₁₃B_i+1)x_i+1-k-(G₁₁B_i+G₁₂B_i+1)x_i-k] (24)

其中

P_i＝[I-G₁₂B_i-G₁₃B_i+1]^-1(25)

通过方程，可以得到各时间点振动位移映射关系，通过矩阵表示如下：

xi+1xixi-1...xi+1-m=M11i0...0M1miM1,m+1iI0...0000I...000..................0000I0xixi-1xi-2...xi-m---(26)]]>

其中

M11i=Pi(F0+G11Bi+G12Bi+1)---(27a)]]>

M1mi=-Pi(G12Bi+G13Bi+1)---(27b)]]>

M1,m+1i=-Pi(G11Bi+G12Bi+1)---(27c)]]>

系统的离散映射可以表示为

ψ＝M_mM_m-1…M₁，ψ即为系统的Floquet转移矩阵，

其中

Mi=M11i0...0M1miM1,m+1iI0...0000I...000..................0000I0---(28)]]>

⑤计算Floquet转移矩阵ψ的特征值，通过特征值的模判定系统的稳定性，具体的判定准则如下：