[发明专利]基于时间‑燃料最优控制的航天器相对轨道转移轨迹优化方法

权利要求书

1.基于时间—燃料最优控制的航天器相对轨道转移轨迹优化方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一、建立相对轨道运动动力学模型：

在地心惯性坐标系O-X_IY_IZ_I中，记目标航天器为s，追踪航天器为c；设目标航天器处在近圆轨道上，取目标航天器的轨道坐标系s-xyz作为相对运动坐标系，追踪航天器相对目标航天器所处的位置为相对位置，在轨道坐标系s-xyz上建立相对位置的坐标；

在不考虑摄动的情况下，将目标航天器与追踪航天器在地心惯性系下的动力学方程代入两者相对运动关系式，针对目标航天器为圆轨道e＝0，追踪航天器和目标航天器相对距离较近，取一次近似进行简化，从而将相对运动动力学方程化简为常系数线性微分方程组的形式

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}-2n\stackrel{\·}{y}-3n^{2}x=u_x\\ \stackrel{\·\·}{y}+2n\stackrel{\·}{x}=u_y\\ \stackrel{\·\·}{z}+n^{2}z=u_z\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中的x、y、z分别为相对位置在s-xyz坐标系三个轴上的分量，分别是x、y、z是的一阶导数，分别是x、y、z的二阶导数；n为目标航天器的平均运动角速度r_s是目标航天器到地心的距离，μ是地球引力常数，u_x、u_y、u_z分别为追踪航天器上沿三个轴施加的主动控制量；式(1)称Clohessey-Whiltshire方程，简称C-W方程；

步骤二、将式(1)即C-W方程解耦为三个子系统：

令U＝[u_x,u_y,u_z]^T，则式(1)可表示为如下形式

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{r}\\ \stackrel{\·\·}{r}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{0}_{3\×3}& I_{3\×3}\\ A_1& A_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}r\\ \stackrel{\·}{r}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{0}_{3\×3}\\ I_{3\×3}\end{array}\right]U---\left(2\right)$

其中r是相对位置即x、y、z的整体表示，分别为r的一阶导数和二阶导数；0_3×3和I_3×3分别表示3×3的零矩阵和单位矩阵，

$A_1=\left[\begin{array}{ccc}3n^2& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -n^2\end{array}\right];A_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 2n& 0\\ -2n& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(3\right)$

矩阵A₁,A₂都可近似看成零矩阵0_3×3，则状态空间表达式可近似表示为

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{r}\\ \stackrel{\·\·}{r}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{0}_{3\×3}& I_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& 0_{3\×3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}r\\ \stackrel{\·}{r}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{0}_{3\×3}\\ 0_{3\×3}\end{array}\right]U---\left(5\right)$

将按拆分成三个子系统，分别为子系统的状态变量，将式(1)按三个坐标轴方向解耦，每一个子系统都是形如式(6)所示的双积分系统，近似将追踪航天器和目标航天器的相对运动看成分别沿三个坐标轴方向的直线运动，从而分别设计沿三个轴施加的主动控制量u_x、u_y、u_z；

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=u\end{array}\right.---\left(6\right)$

x₁为三个子系统中相对位置x、y、z的通用表达形式，x₂为三个子系统中相对速度的通用表达形式，x₁、x₂分别为x₁(t)、x₂(t)的简写；u为主动控制量u_x、u_y、u_z的通用表达形式，u为u(t)的简写；

连续控制时，考虑单轴的主动控制量u的幅值有上限，即|u|≤u_max，当子系统达到终端状态时，x₂的终端状态x_2f速度为零，即各子系统终端状态x_2f＝0；

解耦成三个子系统后，将追踪航天器考虑转移时间和燃料消耗的总性能指标转化为每个轴的单轴性能指标

$J={\∫}_0^{t_f}\[\mathrm{\ρ}+\left|u\left(t\right)\right|\]dt,\mathrm{\ρ}\≠0---\left(7\right)$

其中，ρ为转移时间与燃料消耗的比重；t_f表示时间的积分上限；

根据极小值原理，构造哈密顿函数

H＝ρ+|u(t)|+λ₁(t)x₂(t)+λ₂(t)u(t) (8)

H为哈密顿函数，x(t)＝[x₁(t) x₂(t)]^T是状态量，λ(t)＝[λ₁(t) λ₂(t)]^T为协状态量；

此时可以得到最优控制

$u^{*}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}+u_{\max },& {\mathrm{\λ}}_2^{*}\left(t\right)\<-1\\ 0,& -1\<{\mathrm{\λ}}_2^{*}\left(t\right)\<1\\ -u_{\max },& {\mathrm{\λ}}_2^{*}\left(t\right)\>1\\ \[0,+u_{\max }\],& {\mathrm{\λ}}_2^{*}\left(t\right)=-1\\ \[-u_{\max },0\],& {\mathrm{\λ}}_2^{*}\left(t\right)=1\end{array}\right.---\left(9\right)$

协态方程为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}}_1^{*}\left(t\right)=-\frac{\∂H}{\∂x_1^{*}}=0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}}_2^{*}\left(t\right)=-\frac{\∂H}{\∂x_2^{*}}=-{\stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}}_1^{*}\left(t\right)\end{array}\right.---\left(10\right)$

求解协态方程得

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}_1^{*}\left(t\right)=c_1\\ {\mathrm{\λ}}_2^{*}\left(t\right)=-c_{1}t+c_2\end{array}\right.---\left(11\right)$

t为时间；u^*(t)为最优主动控制量，为最优协状态，分别为对时间的导数，c₁、c₂为常数；分别为J取极小值时的x₁、x₂，即最优值；

哈密顿函数在终端时刻满足

$H\left(t_f^{*}\right)=\mathrm{\ρ}+\left|u^{*}\left(t_f^{*}\right)\right|+{\mathrm{\λ}}_1^{*}\left(t_f^{*}\right)x_2^{*}\left(t_f^{*}\right)+{\mathrm{\λ}}_2^{*}\left(t_f^{*}\right)u^{*}\left(t_f^{*}\right)=0---\left(12\right)$

分别为“哈密顿函数在终端时刻”对应的u^*(t)、为终端时刻；

步骤三、设计时间—燃料最优控制律并对追踪航天器进行控制：

方程(10)不会存在奇异解；

时间—燃料最优问题存在六种候选的控制序列：

{0,+u_max},{0,-u_max},{+u_max},{-u_max},{+u_max,0,u_max},{-u_max,0,+u_max}

在连续控制时，控制u的幅值有上限，即|u|≤u_max，终端状态要求速度为零，即各子系统要求x_2f＝0；求得整个时间—燃料最优相轨迹的开关曲线γ和μ，其方程为

$\mathrm{\γ}={\mathrm{\γ}}_{+}\∪{\mathrm{\γ}}_{-}=\left\{(x_1,x_2)\right|x_1=-\frac{1}{2u_{\max }}{x}_2\left|x_2\right|+x_{1f}\}---\left(13\right)$

$\mathrm{\μ}={\mathrm{\μ}}_{+}\∪{\mathrm{\μ}}_{-}=\left\{(x_1,x_2)\right|x_1=-\frac{\mathrm{\ρ}+4u_{\max }}{2u_{\max }\mathrm{\ρ}}{x}_2\left|x_2\right|+x_{1f}\}---\left(14\right)$

γ₊、γ_-、μ₊、μ_-表示两条开关曲线的四个部分；x_1f为x₁的终端状态；

求得开关曲线γ后，依次讨论各个控制序列；即可得到开关曲线γ和控制序列的开关曲线μ将相平面分为R₁、R₂、R₃、R₄四个区域，

$\left\{\begin{array}{c}{R}_1=\left\{(x_1,x_2)\right|x_1\≥-\frac{1}{2u_{\max }}{x}_2\left|x_2\right|+x_{1f},x_1\>-\frac{\mathrm{\ρ}+4u_{\max }}{2u_{\max }\mathrm{\ρ}}{x}_2\left|x_2\right|+x_{1f}\}\\ R_2=\left\{(x_1,x_2)\right|x_1\<-\frac{1}{2u_{\max }}{x}_2\left|x_2\right|+x_{1f},x_1\≥-\frac{\mathrm{\ρ}+4u_{\max }}{2u_{\max }\mathrm{\ρ}}{x}_2\left|x_2\right|+x_{1f}\}\\ R_3=\left\{(x_1,x_2)\right|x_1\≤-\frac{1}{2u_{\max }}{x}_2\left|x_2\right|+x_{1f},x_1\<-\frac{\mathrm{\ρ}+4u_{\max }}{2u_{\max }\mathrm{\ρ}}{x}_2\left|x_2\right|+x_{1f}\}\\ R_4=\left\{(x_1,x_2)\right|x_1\>-\frac{1}{2u_{\max }}{x}_2\left|x_2\right|+x_{1f},x_1\≤-\frac{\mathrm{\ρ}+4u_{\max }}{2u_{\max }\mathrm{\ρ}}{x}_2\left|x_2\right|+x_{1f}\}\end{array}\right.---\left(15\right)$

最终得到时间—燃料最优控制律为

$u^{*}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}+u_{\max },& \∀(x_1,x_2)\∈R_3\\ 0,& \∀(x_1,x_2)\∈(R_2\∪R_4)\\ -u_{\max },& \∀(x_1,x_2)\∈R_1\end{array}\right.---\left(16\right)$

区域R₂、R₄的大小将随着ρ值的减小而增加；

三轴均按此时间—燃料最优控制律来对追踪航天器进行控制。