[发明专利]双曲格子艺术图形的构造方法

说明书

技术领域

本发明涉及一种艺术图案的设计方法，特别是涉及一种双曲格子艺术图形的构造成法。

背景技术

欧式平面上的单位圆可以用于表示双曲平面，它用有限空间表示了无穷的概念。研究双曲平面上的对称使科学研究与艺术创造有互动式地发展。加拿大数学家H.S.M.Coxeter研究双曲对称的思想使得荷兰艺术家M.C.Escher用画笔构造出了包括以天使与魔鬼为题材在内的4个双曲极限圆图案，包括这些图案在内的2维和3维对称排列图案的构造使他成为了享誉世界的著名画家。Escher的双曲艺术创作又推动了科学研究者研究如何根据双曲对称群理论构造出具有双曲对称的迭代映射和IFS迭代函数系，通过科学计算并用计算机图形显示技术构造出混沌吸引子、充满Julia集和分形形式的双曲极限圆图形。值得注意的是：画家M.C.Escher是在理解了双曲极限圆的原理之后用手或画笔构造出了双曲极限圆艺术图形；数学家们是利用双曲对称群构造出了非线性动力系统并借助计算机在双曲平面上生成了双曲极限圆抽象图形。

发明内容

本发明的目的在于提供一种双曲格子艺术图形的构造方法，本发明利用计算机图形学中的非线性科学方法，将图案、照片等具象图形压缩排列到平面单位圆内的双曲格子中，解决了如何将中心格子中的图形向单位圆中不同层次的双曲格子进行双曲变换、进而构造出每个格子中含有一个具象图形的双曲极限圆形式的艺术图形。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

双曲格子艺术图形的构造方法，所述方法包括在每个格子中排列一个图源，在基本域中分层次构造双曲变换矩阵，每个层次的双曲变换矩阵，在前一层次双曲变换矩阵的基础上，作符合式(5)规定的双曲矩阵构造；其具体构造方法如下：

a.利用其双曲平面上的点与三维空间点间的换算公式及[p,q]⁺双曲对称的基本对称矩阵：

双曲平面上的点可以表示在单位圆(                                               )上，也可以表示在3维空间的上半叶双曲面()上；两种模型的点之间的变换关系为或；关于圆心点O的S旋转变换，关于Q点的T双曲旋转变换；

b. 由基于对称的分层次格子的双曲变换集构造的单位圆上的双曲变换集：

将双曲平面上的中心格子定义为第0层格子,与第0层格子的边和顶点相连的格子为第1层格子；与第1层格子的边和顶点相连的格子为第2层格子，依次类推；将中心格子绕顶点Q做q-2 次双曲旋转，得到第一层格子以及由此扩展得到的其它各层次格子定义为基本域，如图4(a)中灰色区域所示，这个区域是双曲圆上除中心格子外的1/p旋转对称区域；

c.第m层双曲变换矩阵集的具体构造：

将中心格子关于Q点做q-2次双曲旋转，即将中心格子中的图形变换到了基本域中的第一层次中的各个格子，因此，相应的变换矩阵集为：

；                   (4)

本定义[p,q]⁺双曲圆上中心格子向第0层格子（即自身）的双曲变换为单位矩阵I，用符号表示；定义基本域中与第m-1层格子的边和顶点邻接的所有格子为第m层格子，m=1,2,3,…；定义将中心格子变换到基本域的第m层格子的所有变换矩阵集合为第m层双曲变换矩阵集，用符号表示；中的第i个变换矩阵用符号表示。

所述的双曲格子艺术图形的构造方法，所述中的元素数量用符号表示；令[p,q]⁺双曲圆上的所有层次的变换矩阵集的并集用符号表示，则

。   (3) 

所述的双曲格子艺术图形的构造方法，所述第m层双曲变换矩阵集的具体构造中，其它层次的双曲变换集通过式(5)构造，其中第i项是T和S的幂的组合变换，且构造项的左数第一个矩阵是式(4)中的T的满足条件的幂次矩阵，式中是第m-1层双曲变换集的数量。

{ ；其中去除k=1 且j=2时的的各组合项；去除j=p-1且项的左数第一个矩阵是的的各组合项}。                           (5)