[发明专利]一种利用数论变换计算循环卷积的电路结构

说明书

技术领域

本发明属于集成电路设计技术领域，具体涉及一种新型利用数论变换计算循环卷积的电路结构。 

背景技术

卷积是一种线性运算，其本质是滑动平均思想，广泛应用于图像滤波，图像处理中常见的mask运算就是卷积。另外，卷积在工程和数学中还有很多其他应用，统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是x与Y的概率密度函数的卷积。声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处理中，任意一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数做卷积获得，物理学中，任意一个线性系统都存在卷积。 

所谓两个序列xn（n=0,1,…,N-1）和hn(n=0,1,…,N-1)的循环卷积是指： 

上式中的符号<k>_N表示整数k模N的最小非负剩余，也就是整数k被正整数N 除所余的非负整数。

循环卷积可用变换法实现，一般常用的变换为快速傅里叶变换（FFT）。分别计算xn和hn（n=0,1,2,…,N-1）的FFT，即Xk，Hk，将它们相乘得到yn的FFT，即Yk=Xk*Hk（k=0,1,2,…,N-1），最后将Yk进行反变换（IFFT），就得到yn，示意图如图1所示。 

由图1可知，利用FFT计算长度为N的序列的循环卷积，需要两次正变换，一次拟变换和N次乘法，一个N点的FFT变换需要O(Nlog₂N)次乘法。 

以数论为基础的计算循环卷积的方法叫做数论变换（NTT）。特别引人关注的是NTT中有一种Fermata数变换（FNT），这样变换只需要加法（减法）及移位操作而不用乘法，从而提高了运算速度。FNT还消除了FFT带来的舍入误差，故能得到高精度的卷积，并且不需要基函数的存取，从而节省的存储空间。但是，FNT也有缺点，主要是没有明显的物理意义；序列{xn}的变换{Xk}不再是频谱，因此中间过程不能如FFT那样用于测频；在加上字长受限制，不够灵活。 

数论变换（NTT）是一种有限域内的运算，它和FFT一样都是一种线性正交变换，具有FFT类似的性质，具有循环卷积特性，因此可用于计算两个序列的循环卷积，并且具有FFT一样的快速算法。但不同之处有两点，第一是以α代替FFT中的W_N，由于α是一正整数，不像FFT那样要预先储存基函数W_N；第二是每一步运算过程都要判断一下中间量是否超过模M，如果超过模M，就应去小于模M的同余值，以防溢出。由NTT计算序列循环卷积的过程示意图如图2所示。 

对序列xn进行数论变换的公式如下： 

其中变换矩阵T为：

对于费马数论变换（FNT），模M为费马数（M=2^N+1），整数α为M的N阶本源单位根，N为序列xn的长度。

与快速傅里叶变换（FFT）一样，数论变换（NTT）也有快速算法，快速算法的流程图如图6所示。 

这相当于FFT的按频率抽取的算法，同样可用按时间抽取的算法。用上述快速算法，可将原来所需的N²个乘法降为Nlog₂N次乘法。如果α是2或者2的幂，则只需要Nlog₂N次移位操作。 

为了使NTT具有快速演算的效果，通常对M、N、α的要求是： 

1.    变换长度N必须适合FFT类型的快速演算，因而要求N是高度复合的数。当

N=2^m时，就能满足这样的要求，同时，由于N表示输入采样点的个数，所以不能过小。

2.    数论变换的一个特点是用一个整数α代替FFT中的W_N，FFT需要大量的复乘， 

而NTT只需作α的方幂的乘法。如果能选择α，使得α的幂是一种简单运算，那就能起到节省运算的目的。如果选取α为2或2的幂，这时在作2的方幂的乘法时，仅为移位操作。

3.    为了便于模M的运算，当用二进制表示M时，其位数（一般称为字长）越小 

越好。但M的值不能过小，以防止溢出。对于费马数论变换（FNT），M取作费马数：

M = Ft = 2^b + 1，其中b=2^t (t=0,1,2,…)

对于FNT，N=2b=2^t+1，α=2，能满足要求，例如当t=5时，M=2³²+1，N=64；