[实用新型]二次曲线规

说明书

所属技术领域

本实用新型涉及一种绘图工具，它也可以作为教具使用，尤其是能在平面上方便的画出以一定点为焦点，以过该定点的直线为对称轴，并且满足某些特定要求的圆、椭圆、抛物线和双曲线的二次曲线规。

背景技术

现有的二次曲线规(也称圆锥曲线规)虽然也可以画出二次曲线，但是所画出的二次曲线随意性较大，不能够方便地画出以一个定点为焦点，以通过该定点的直线为对称轴的二次曲线。

发明内容

为了克服现有的二次曲线规不能方便地画出以一个定点为焦点，以通过该定点的直线为对称轴的二次曲线的不足，本实用新型提供一种新的二次曲线规。该二次曲线规不仅能在平面上画出各类二次曲线，而且还能直接画出以平面上任意给定的点为一个焦点，以通过该点的一条直线为对称轴，并且还满足其它要求的二次曲线。

技术方案：

本实用新型解决技术问题所依据的数学定理是：

定理一：一个正圆锥被一个平面所截，如果圆锥轴线和截面所成的锐角大于圆锥轴线和母线之间的夹角，那么截得的曲线是一个椭圆，该正圆锥和截锥平面的两个内切球(和锥面所有的母线相切也和截锥平面相切，下同)和截锥平面的切点就是该椭圆的两个焦点。

证明：如图1，以点A为顶点的正圆锥被平面R所截，由于圆锥轴线和截面R所成的锐角大于圆锥轴线和母线之间的夹角，那么截面R和圆锥的每一条母线都相交，即截线是一条封闭的曲线。它们有两个内切球是O₁和O₂，球O₁和平面R的切点为P₁，和锥面的切点组成圆M，球O₂和平面R的切点为P₂，和锥面的切点组成圆N。设K为截线上任意一点，连KP₁、KP₂，做正圆锥的母线AK切球O₁于圆M上的B点，延长AK切球O₂于圆N上的C点。由于KP₁＝KB，KP₂＝KC(由球外一点引的两条切线长相等)，那么就有

KP₁+KP₂＝KB+KC＝BC(正圆台母线，常量)，

因此，截得的曲线是一个椭圆，且P₁和P₂为该椭圆的焦点(当圆锥轴线和截面R所成的角是直角时，点P₁、P₂重合为P，截得的曲线是一个圆，点P为该圆的圆心)。

定理二：一个对顶正圆锥被一个平面所截，如果圆锥轴线和截面所成的角小于圆锥轴线和母线之间的夹角，那么截得的曲线是一组双曲线，该对顶圆锥和截锥平面的两个内切球和截锥平面的切点就是这对双曲线的两个焦点。

证明：如图2，以点A为顶点的对顶正圆锥被平面R所截，由于圆锥轴线和截面R所成的角小于圆锥轴线和母线之间的夹角，那么截面R将和对顶圆锥上下锥面的母线都相交，即截线是两条曲线。它们的两个内切球是O₁和O₂，球O₁和平面R的切点为P₁，和锥面的切点组成圆M，球O₂和平面R的切点为P₂，和锥面的切点组成圆N。设K为截线上任意一点，连KP₁、KP₂，做正圆锥的母线AK切球O₁于圆M上的B点，延长KA切球O₂于圆N上的C点。由于KP₁＝KB，KP₂＝KC(球外一点引的两条切线长相等)，那么就有

KP₂-KP₁＝KC-KB＝BC(正圆台母线，常量)，

由于点K可以选在上面的那支曲线，也可以选在下面的那支曲线，因此，截线是一组双曲线，且P₁和P₂为该双曲线的焦点。

定理三：一个正圆锥被一个平面所截，如果圆锥轴线和截面所成的角等于圆锥轴线和母线之间的夹角，那么该截线是一条抛物线，该圆锥和截锥平面的一个内切球和截锥平面的切点就是该抛物线的焦点。