[发明专利]一种欠驱动双耦合电机的滑模控制方法

权利要求书

1.一种欠驱动双耦合电机的滑模控制方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤1：欠驱动双耦合电机系统分析与建模

欠驱动双耦合电机系统是驱动器通过齿轮传递控制负载的转动角度，根据动力学方程，对欠驱动双耦合电机系统进行分析，便得到其数学模型如下：

J1θ··2+c12θ·2+k(θ2-gr-1θ1)=0]]>(1)

Jdθ··1+c11θ·1+kgr-1(gr-1θ1-θ2)=Td+d]]>

其中：θ₁为驱动器转动角度，θ₂为负载转动角度，J₁为负载转动惯量，J_d为驱动器转动惯量，为齿轮齿数比，T_d为控制输入，c₁₁为驱动器阻尼，c₁₂为负载阻尼，为扭转弹性常数，d为加在驱动器上的干扰，

该系统的控制目标为负载转动角度θ₂，设跟踪的理想负载角度为θ_2d，定义跟踪误差为e＝θ₂-θ_2d；

令x₁＝θ₂，x₃＝θ₁，d＝0，u＝T_d，则式(1)写为

x·1=x2]]>

x·2=-c12J1x2-kJ1(x1-gr-1x3)]]>(2)

x·3=x4]]>

x·4=uJd-c11Jdx4-kgr-1Jd(gr-1x3-x1)]]>

取f1(x1,x2,x3)=-c12J1x2-kJ1(x1-gr-1x3),]]>f2(x1,x3,x4)=-c11Jdx4-kgr-1Jd(gr-1x3-x1),]]>则

x·1=x2]]>

x·2=f1(x1,x2,x3)]]>

x·3=x4---(3)]]>

x·4=f2(x1,x3,x4)+1Jdu]]>

步骤2：滑模控制律的设计

根据欠驱动双耦合电机控制系统的模型信息，取滑模函数并令其导数得到等效控制部分u_eq，再通过得到切换控制部分u_sw，从而得出滑模控制律u＝u_eq+u_sw；

由步骤1知，定义负载转动角度θ₂为x₁，定义跟踪的理想负载角度θ_2d为x_d，跟踪误差转化为e＝x₁-x_d，取误差方程为

e₁＝x₁-x_d

e2=e·1=x2-x·d]]>

e3=e··1=x·2-x··d=f1(x1,x2,x3)-x··d---(4)]]>

e4=e···1=f·1-x···d=∂f1∂x1x2+∂f1∂x2f1+∂f1∂x3x4-x···d]]>

有|∂f1∂x3|=kJ1gr≤β3;]]>

取滑模函数为

s＝c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃+e₄    (5)

其中c_i＞0，i＝1，2，3；

令则由式(3)、(4)和式(5)得等效控制部分

ueq=-[∂f1∂x3b]-1{c1x2+c2f1+c3(∂f1∂x1x2+∂f1∂x2f1+∂f1∂x3x4)+ddt[∂f1∂x1x2]+ddt[∂f1∂x2f1]+ddt[∂f1∂x3]x4+∂f1∂x3f2-c1x·d-c2x··d-c3x···d-x····d}---(6)]]>

由设计切换控制部分，得

usw=-[∂f1∂x3b]-1[Msgn(s)+λs]---(7)]]>

其中λ＞0，M的值由下面步骤3的稳定性分析得到，sgn(s)=1s>00s=0-1s<0;]]>

控制律设计为等效控制和切换控制之和，即：

u＝u_eq+u_sw    (8)

步骤3：滑模控制律稳定性分析

取Lyapunov函数为验证得出证明该系统在有限时间内达到稳定；然后再分析带有误差变量的Lyapunov函数验证从而保证e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，实现所需的跟踪效果；

由式(3)、(4)和式(5)得

s·=c1e·1+c2e·2+c3e·3+e·4=c1x2+c2f1+c3(∂f1∂x1x2+∂f1∂x2f1+∂f1∂x3x4)+ddt[∂f1∂x1x2]+ddt[∂f1∂x2f1]+ddt[∂f1∂x3]x4+∂f1∂x3(f2+bu)-c1x·d-c2x··d-c3x···d-x····d---(9)]]>

将控制律式(8)代入上式，得

s·=-Msgn(s)-λs]]>

取ρ＞0，取Lyapunov函数为则

V·=ss·=s(-(β3d‾+ρ)sgn(s)-λs)]]>

=-(β3d‾+ρ)|s|-λs2≤-ρ|s|-λs2≤0]]>

由式(5)知，当s＝0时，有e₄＝-c₁e₁-c₂e₂-c₃e₃；取A=010001-c1-c2-c3,]]>A为Hurwitz；取E₁＝[e₁ e₂ e₃]^T，则误差变量写为

E·1=AE1---(10)]]>

取Q＝Q^T＞0，由于A为Hurwitz，则存在Lyapunov方程A^TP+PA＝-Q，其解为P＝P^T＞0；针对式(10)，取Lyapunov函数为则

V·1=E·1TPE1+E1TPE·1=(AE1)TPE1+E1TP(AE1)]]>

=E1TATPE1+E1TPAE1=E1T(ATP+PA)E1]]>

=-E1TQE1≤-λmin(Q)||E1||22≤0]]>

其中λ_min(Q)为正定阵Q的最小特征值；

由知：e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，实现了跟踪效果；

步骤4：参数c_i的设计与调节

参数c_i的设计条件为：满足A为Hurwitz且max{d‾1,d‾2,β1d‾1+β2d‾2}<λleft(-A),]]>其中λ_left(-A)表示-A的所有特征根中实部最小的特征根的实部；

为了满足A为Hurwitz，需要保证A的特征值实部为负，即|A-λI|=-λ100-λ1-c1-c2-c3-λ=λ2(-c3-λ)-c1-c2λ=-λ3-c3λ2-c2λ-c1=0]]>的根实部为负；取特征值为三重根-3，由(λ+3)³＝0得λ³+9λ²+27λ+27＝0，从而按λ³+c₃λ²+c₂λ+c₁＝0取c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9；

为了验证是否满足max{d‾1,d‾2,β1d‾1+β2d‾2}<λleft(-A),]]>将c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9代入-A中，求得-A的三个特征值均为3，即λ_left(-A)＝3；取β₁＝β₂＝0，则max{d‾1,d‾2,β1d‾1+β2d‾2}=0.1<3,]]>满足条件；

步骤5：由仿真效果判断是否需要对参数进行调整

通过Matlab仿真后，若控制效果不能满足要求，返回步骤4继续调节参数，直到控制效果达到要求；若控制效果满足要求，则设计结束；

步骤6：设计结束

整个设计过程分为六大步骤；第一步确定了欠驱动双耦合电机控制系统的数学模型；第二步得到了系统的滑模控制律；第三步分析了滑模控制律是否稳定；第四步是对设计的控制律进行参数设置；第五步是针对仿真结果对参数进行调整；经过上述各步骤后，设计结束。