[发明专利]一种基于干扰观测器的柔性关节机械臂的滑模控制方法

权利要求书

1.一种基于干扰观测器的柔性关节机械臂的滑模控制方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤1：欠驱动柔性关节机械臂系统的分析与建模

根据动力学方程，对欠驱动柔性关节机械臂系统进行分析，便得到其数学模型如下：

Iq··+K(q-qm)+Mglsinq=0]]>(1)

Jq··m-K(q-qm)=u]]>

其中：q表示柔性关节机械臂连杆角度，q_m表示电机转子角度，I表示柔性关节机械臂转动惯量，J表示电机转子转动惯量，K表示关节刚度系数，M表示柔性关节机械臂连杆质量，g表示重力加速度，l表示关节到杆质心的距离，u表示电机转矩；

该系统的控制目标为柔性关节机械臂连杆角度q，设跟踪的理想角度为q_d，定义跟踪误差为e＝q-q_d；

令x₁＝q，x₃＝q_m，则式(1)写为

x·1=x2]]>

x·2=-1I(Mglsinx1+K(x1-x3))]]>(2)

x·3=x4]]>

x·4=1J(u-K(x3-x1))]]>

取f1(x1,x3)=-1I(Mglsinx1+K(x1-x3)),]]>f2(x1,x3)=KJ(x1-x3),]]>同时考虑控制扰动，假设干扰d为慢时变信号，则

x·1=x2]]>

x·2=f1(x1,x3)]]>

x·3=x4---(3)]]>

x·4=f2(x1,x3)+1J(u-d)]]>

步骤2：干扰观测器的设计及稳定性分析

针对二阶系统设计干扰观测器，分析其是否为Lyapunov稳定；取干扰观测器Lyapunov函数为V_o，容易验证当干扰d为慢时变信号即很小，并且取k₁为较大值时，有故通过采用本干扰观测器，对干扰项进行有效的观测；其具体过程如下：

针对二阶系统

x·3=x4]]>

x·4=f2(x1,x3)+1J(u-d)---(4)]]>

设计干扰观测器为：

d^·=k1(x^4-x4)---(5)]]>

x^·4=-1Jd^+1Ju-k2(x^4-x4)+f2(x1,x3)---(6)]]>

其中，为对d项的估计，为对x₄的估计，k₁＞0，k₂＞0；

稳定性分析如下：

首先，定义干扰观测器的Lyapunov函数为

Vo=12k1d~2+12x~42---(7)]]>

其中d~=1J(d-d^),]]>x~4=x4-x^4;]]>

则

V·o=1k1d~d~·+x~4x~·4=1k1Jd~(d·-d^·)+x~4(x·4-x^·4)---(8)]]>

由于干扰d为慢时变信号，故很小，当取k₁为较大值时，有

1k1d·≈0---(9)]]>

将式(5)、(6)和式(9)代入式(8)，得

V·o=1k1Jd~d·-1k1Jd~d^·+x~4(x·4-(-1Jd^+1Ju-k2(x^4-x4)+f2(x1,x3)))]]>

=1k1Jd~d·-1k1Jd~k1(x^4-x4)+x~4(f2(x1,x3)+1J(u-d)-(-1Jd^+1Ju-k2(x^4-x4)+f2(x1,x3)))]]>(10)

=1k1Jd~d·-1Jd~(x^4-x4)+x~4(1J(-d+d^)+k2(x^4-x4))]]>

=1k1Jd~d·-1Jd~x~4+x~4(-1Jd~-k2x~4)=1k1Jd~d·-k2x~42≤0]]>

通过采用本干扰观测器，取较大的k₁和k₂，对干扰项进行有效的观测，从而实现干扰项d的补偿；

步骤3：滑模控制律的设计

根据欠驱动柔性关节机械臂系统的模型信息，取滑模函数并令其导数得到等效控制部分u_eq，取滑模Lyapunov函数为令滑模函数得到切换控制部分u_sw，从而得出滑模控制律u＝u_eq+u_sw；

由步骤1，柔性关节机械臂连杆角度q定义为x₁，跟踪的理想角度q_d定义为x_d，则跟踪误差定义为e＝x₁-x_d，取误差方程为

e₁＝x₁-x_d

e2=e·1=x2-x·d]]>

e3=e··1=x·2-x··d=f1(x1,x3)-x··d]]>(11)

e4=e···1=f·1-x···d=∂f1∂x1x2+∂f1∂x2f1+∂f1∂x3x4-x···d]]>

可知|∂f1∂x3|=KI≤β3.]]>

取滑模函数为

s＝c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃+e₄      (12)

其中c_i＞0，i＝1，2，3；

令则由式(3)、(11)和式(12)得等效控制部分

ueq=-[∂f1∂x3b]-1{c1x2+c2f1+c3(∂f1∂x1x2+∂f1∂x2f1+∂f1∂x3x4)+ddt[∂f1∂x1x2]+ddt[∂f1∂x2f1]+ddt[∂f1∂x3]x4+∂f1∂x3f2-c1x·d-c2x··d-c3x···d-x···d}---(13)]]>

由设计切换控制部分，得

usw=-[∂f1∂x3b]-1[Msgn(s)+λs]---(14)]]>

其中λ＞0，M的值由下面第4步的稳定性分析得到，sgn(s)=1s>00s=0-1s<0;]]>

控制律设计为等效控制和切换控制之和，即：

u＝u_eq+u_sw    (15)

步骤4：滑模控制律稳定性分析

验证整个闭环系统的Lyapunov稳定性，取闭环系统Lyapunov函数为V＝V_c+V_o，验证得出证明该系统在有限时间内达到稳定；然后再分析带有误差变量的Lyapunov函数验证从而保证e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，实现所需的跟踪效果；

由式(3)、(11)和式(12)得

s·=c1e·1+c2e·2+c3e·3+e·4]]>

=c1x2+c2f1+c3(∂f1∂x1x2+∂f1∂x2f1+∂f1∂x3x4)+ddt[∂f1∂x1x2]---(16)]]>

+ddt[∂f1∂x2f1]+ddt[∂f1∂x3]x4+∂f1∂x3(f2+bu)-c1x·d-c2x··d-c3x···d-x····d]]>

将控制律式(15)代入上式，得

s·=-Msgn(s)-λs]]>

取ρ＞0，取Lyapunov函数为则

V·c=ss·=s(-(β3d‾+ρ)sgn(s)-λs)]]>(17)

=-(β3d‾+ρ)|s|-λs2≤-ρ|s|-λs2≤0]]>

取整个闭环系统的Lyapunov函数为

V=Vc+Vo=12s2+12k1d~2+12x~42]]>

由式(10)和式(17)可知

由式(12)知，当s＝0时，有e₄＝-c₁e₁-c₂e₂-c₃e₃；取A=010001-c1-c2-c3,]]>A为Hurwitz；取E₁＝[e₁ e₂ e₃]^T，则误差变量写为

E·1=AE1---(18)]]>

取Q＝Q^T＞0，由于A为Hurwitz，则存在Lyapunov方程A^TP+PA＝-Q，其解为P＝P^T＞0；针对式(18)，取Lyapunov函数为则

V·1=E·1TPE1+E1TPE·1=(AE1)TPE1+E1TP(AE1)]]>

=E1TATPE1+E1TPAE1=E1T(ATP+PA)E1]]>

=-E1TQE1≤-λmin(Q)||E1||22≤0]]>

其中λ_min(Q)为正定阵Q的最小特征值；

由知：e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，实现了跟踪效果；

步骤5：参数c_i的设计与调节

参数c_i的设计条件为：满足A为Hurwitz且其中λ_left(-A)表示-A的所有特征根中实部最小的特征根的实部；

为了满足A为Hurwitz，需要保证A的特征值实部为负，即|A-λI|=-λ100-λ1-c1-c2-c3-λ=λ2(-c3-λ)-c1-c2λ=-λ3-c3λ2-c2λ-c1=0]]>的根实部为负；取特征值为三重根-3，由(λ+3)³＝0可得λ³+9λ²+27λ+27＝0，从而按λ³+c₃λ²+c₂λ+c₁＝0取c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9；

为了验证是否满足将c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9代入-A中，求得-A的三个特征值均为3，即λ_left(-A)＝3；取β₁＝β₂＝0，则max{d‾1,d‾2,β1d‾1+β2d‾2}=0.1<3,]]>满足条件；

步骤6：由仿真效果判断是否需要对参数进行调整

经过Matlab仿真后，若控制效果不能满足要求，返回步骤5继续调节参数，直到控制效果达到要求；若控制效果满足要求，则设计结束；

步骤7：设计结束

整个设计过程分为七大步骤，第一步确定了欠驱动柔性关节机械臂系统的数学模型；第二步设计了干扰观测器并分析了其是否稳定；第三步得到了系统的滑模控制律；第四步分析了滑模控制律是否稳定；第五步是对设计的控制律进行参数设置；第六步是针对仿真结果对参数进行调整；经过上述各步骤后，设计结束。