[发明专利]一种采用有限元方法的编队构型重构优化

摘要

本发明公开了一种采用有限元方法的编队构型重构优化，利用有限元素法把编队重构时间划分为一系列等间隔区间，将重构路径求解问题转化为优化问题，进而克服传统重构方法局限性问题，实现对卫星编队的重构。优化过程中，根据数值迭代方法，确定每个时间子区间内的最优轨道控制量和相应的重构轨道状态量，并考虑控制燃料消耗总量最小准则、控制时机以及避免航天器之间碰撞的安全性因素等，对可选子区间内的小推力发动机对航天器施加的控制加速度加载和重构轨道状态量再次迭代修正。

主权项

1.一种采用有限元方法的编队构型重构优化，其特征在于编队构型重构包括有下列步骤：步骤一，建立无摄圆轨道下主星与从星的相对运动模型；此卫星编队由主星与从星卫星组成，并假设主星运行在无摄圆轨道上，使得主星与从星满足式(1)的相对运动关系：X表示从星S₂相对于主星S₁的运动状态量；表示X的变化率；Φ表示运动系数矩阵；u表示加速度加载；A表示Φ的右下角对角元素，且n表示主星的轨道角速度；‑A表示A的相反数；B表示Φ的左下角对角元素，‑B表示B的相反数；针对Φ进行Jordan分解V^‑1ΦV＝J，V表示Jordan分解的特征向量，V^‑1表示V的逆矩阵，得到表征六维运动模态的特征矩阵J，其中令Z＝V^‑1X，Z表示变换后运动状态量，X表示从星S₂相对于主星S₁的运动状态量；考虑在重构时间T的固定时间间隔[0,T]内，由N个航天器组成的编队重构问题，约束条件为避免航天器相互之间的碰撞以及实现最小燃料消耗，航天器最初和最后的位置与速度均已给出；将J带入式(1)可得相对运动关系：i表示编队中航天器的标号，i＝1,2,…,N；Z_i表示第i个航天器坐标变换后的运动状态量；表示Z_i的变化率；u_i表示对第i个航天器施加的控制加速度；P表示u的系数，且P的取值为V的第3列到第6列部分的元素；对式(2)求导，并将6个运动分量解耦，得到状态变量以重构方程式(3)形式概括：i表示编队中航天器的标号，i＝1,2,…,N；j表示单个航天器的状态变量序号，j＝1,2,…,6；x_i,j表示第i个航天器的第j个状态变量；表示第i个航天器的第j个状态变量的二阶导数；λ表示重构方程的一阶项系数，当主星位于圆形相对轨道时，λ＝‑n²；u_i,j表示对第i个航天器第j个状态变量施加的控制加速度；步骤二，将重构时间划分子区间，采用有限元方法求解步骤一所得重构方程，得到控制矩阵；考虑到加权残差，定义了有限元权重系数ω(τ)：k表示重构时间区间M个元素的序号，k＝0,1,…,M；τ表示重构区间第k个元素中任意时间；t_k表示重构时间区间的第k个节点；t_k+1表示重构时间区间的第k+1个节点；ω(τ)表示随时间变化的有限元权重系数；λ(τ)表示随时间变化的一阶项系数，主星位于圆形相对轨道时，λ(τ)＝‑n²；x(τ)表示随时间变化的航天器的状态变量；表示随时间变化的航天器状态变量的二阶导数；u(τ)表示随时间变化的小推力发动机对航天器施加的控制加速度加载；dτ表示为时间的微分；重构区间第k个元素中的两个插值函数和用拉格朗日多项式定义为：表示随时间变化的第k个元素中的左插值函数；表示随时间变化的第k个元素中的右插值函数；在第k个元素中随时间变化的航天器的状态变量x(τ)的值可以用x^(k)(τ)来近似：x^(k)(τ)表示第k个元素中航天器的平均状态变量；x_k表示重构时间区间的第k个节点上的航天器的状态变量；x_k+1表示重构时间区间的第k+1个节点上的航天器的状态变量；状态变量x^(k)(τ)随时间τ线性变化；因此，每个单元中的近似重构轨道将会是一个线段，从星的整个重构轨道将是分段线；当时间网格变得更密集时，该分段线会趋近于编队重构问题的真实轨迹；λ(τ)利用与x(τ)相同的处理方法来实现近似：λ^(k)(τ)表示第k个元素中一阶项系数；λ_k表示重构时间区间的第k个节点上的一阶项系数；λ_k+1表示重构时间区间的第k+1个节点上的一阶项系数；重构时间区间[0,T]内的元素内部小推力发动机提供的控制机动分布在节点时间t_k和t_k+1处的两个速度脉冲中，可以用狄拉克函数表示，u^(k)(τ)表示第k个元素中对航天器施加的控制加速度加载；表示重构时间区间的第k个节点上的狄拉克函数；表示第k个元素的初始时刻控制加速度加载；表示重构时间区间的第k+1个节点上的狄拉克函数；表示第k个元素的结束时刻控制加速度加载；为了使有限元方法应用于整个重构轨道中的重构时间区间[0,T]内，接下来将集中于获得涉及网格中所有节点值及其相应控制机动的方程组；在一个有限元素[t_k,t_k+1]内，对式(4)进行积分，针对状态变量x构建有限元方程为：其中，表示第p行第q列的控制矩阵元素；p表示控制矩阵的元素位置的行序号，取1或2；q表示控制矩阵的元素位置的列序号，取1或2；表示第p行加速度矩阵元素；表示第k个元素中的第p行插值函数；表示第k个元素中的第q列插值函数；由于控制在每个节点上执行，除了第一个节点和最后一个节点外，其他节点都由两部分小推力发动机提供的控制机动组成；因此，第k节点上的总加速度加载Δu_k可以通过式(10)得到Δu_k表示第k个节点上小推力发动机提供的总加速度加载；表示第k‑1个元素的结束时刻控制加速度加载；表示第k个元素的初始时刻控制加速度加载；但是，对于第一个和最后一个节点，式(10)并不成立；原因是第一个和最后一个节点是位于整个编队重构过程的边界，只进行一次计算；为此，需要将位于第一个和最后一个元素中的初始和最终速度进行修正：在第一个元素中，编队从星的初始速度v₀被修改为在最后一个元素中，编队从星的最终速度v_f必须改变为其中，表示第0个节点的初始时刻控制加速度加载；表示第M‑1个元素的结束时刻控制加速度加载；随时间变化的航天器的状态变量x(τ)的节点值x_k，x_k+1用来确定重构轨道和控制量，视为重构问题中的优化量；通过有限元方法将重构时间区间的元素整合起来，即可得到如式(11)形式的线性方程组6M维的系统集合：在第一个和最后一个节点上执行的控制加速度加载可以根据式(12)获得：步骤三，以控制燃料消耗总量最小为收敛约束，并保证整个重构过程中避免碰撞，优化求解编队重构的控制；找到编队构型重构过程中施加在从星上的小推力发动机提供的控制U_i是重构优化的主要目标，在避免碰撞的约束下实现最小化燃料消耗；控制加速度矢量的大小平方之和被选择为性能指标，在对应于最低燃料传输量C：其中，U_i,k是在第i个航天器的第k个时间节点上小推力发动机提供的控制，是Δu_i,k的逆变换后的形式；U_i,k^T中的上角标T为坐标转置符；N为编队中航天器总数；M为将从星由初始轨道构型到目标轨道构型的重构时间区间分解的元素个数；Δu_i,k是第i个航天器的第k个时间节点上小推力发动机提供的总加速度加载。