[发明专利]一种具有终端速度、弹道倾角和过载约束的显式制导律

摘要

本发明是一种具有终端速度、弹道倾角和过载约束的显式制导律，由弹道成形制导律和终点速度控制方案两项综合而成。弹道成形制导律可以控制飞行器从预定的方向命中目标，而终点速度控制方案则通过控制飞行器绕弯的横向机动加速度，从而控制延长飞行的距离来调节终点速度大小，横向机动加速度大小由迭代修正算法确定。发明的优点在于该解析制导律不仅可以满足终端弹道倾角，还可满足终端速度约束，并使飞行器接近目标的机动加速度逐渐衰减到0；进一步提出了确定制导律系数的方法，即通过适当选取线性近似系统的特征根来确定制导律系数；获得了制导律系数稳定域，严格证明了只要制导律系数在稳定域内，制导系统稳定且飞行器以小攻角命中目标。

主权项

一种具有终端速度、弹道倾角和过载约束的显式制导律，特征在于：具体包括如下步骤：步骤1：建立运动学与动力学方程建立与地面固联的惯性参照系o‑xyH，将飞行器看作质点M，x是纵向射程，y是横向射程，H是海拔高度；V是飞行器的速度；γ是飞行器的弹道倾角，相对水平参考线逆时针转动为正；ψ是航向角，即飞行器速度的水平分量与x轴的夹角，相对于x轴逆时针转动为正；不考虑地球曲率和自转的影响，其运动学与动力学方程组如下：dxdt=Vcos(γ)cos(ψ)---(1)]]>dydt=Vcos(γ)sin(ψ)---(2)]]>dHdt=Vsin(γ)---(3)]]>dVdt=-Dm-gsin(γ)---(4)]]>dγdt=Lcos(σ)mV-gcos(γ)V---(5)]]>dψdt=-Lsin(σ)mVcos(γ)---(6)]]>其中，t为飞行器飞行时间，m是飞行器质量，σ是滚转角，L是升力，D是阻力，g为重力加速度；步骤2：显式制导律综述在显式制导律作用下，制导系统将产生的指令加速度由两项组成：第一项是弹道成形制导律产生的指令加速度aTSG，此加速度能导引飞行器从预定的方向命中目标；第二项是终点速度控制方案产生的指令加速度aspeed，此加速度能控制飞行器做横向机动，从而调节命中目标时的速度大小；制导系统产生的指令加速度表达式如下acmd＝aTSG+aspeed   (7)步骤3：求解弹道成形制导律的解析解所述步骤2中第一项弹道成形制导律产生的指令加速度aTSG由三小项组成，分别用以导引飞行器飞向目标，控制飞行器命中目标时的速度方向，平衡重力加速度在垂直于速度方向分量；加速度aTSG的方向垂直于飞行器当前速度矢量，其表达式见公式(8)aTSG=V2R{C1[r^-(r^·v^)v^]+C2[v^f-(v^f·v^)v^]}-gn---(8)]]>其中，R是剩余飞行距离；C1和C2是制导律系数；是飞行器到目标视线的单位方向矢量；是飞行器速度的单位方向矢量；是飞行器命中目标时预定速度方向矢量，由公式(9)计算；gn是重力加速度垂直于速度的分量；v^f=cos(γf)cos(ψf)cos(γf)sin(ψf)sin(γf)---(9)]]>其中，γf为命中目标时飞行器预定的弹道倾角，一般介于‑70°与‑90°之间，为常值；ψf等于当前飞行器到目标视线的方位角，如下所示ψf=arctan(r^|yr^|x)---(10)]]>其中，和分别表示矢量在坐标轴x、y方向的分量；忽略重力的影响，则在纵向平面内，飞行器制导律的表达式可以由几何矢量形式变换成三角函数形式：Vdγdt=V2R(-C1sin(γ-γLOS)-C2sin(γ-γf))---(11)]]>其中，γLOS是弹目视线角，相对水平参考线逆时针转动为正；视线角变化率为：dγLOSdt=-Vsin(γ-γLOS)R---(12)]]>假设γ≈γLOS≈γf，则可对式(11)(12)中的三角函数线化，并整理得到如下线性时变系统γ·γ·LOS=f1(t)A1γγLOS+f1(t)B1γf---(13)]]>其中f1(t)=V(t)R(t)---(14)]]>A1=-(C1+C2)C1-11---(15)]]>B1＝[C2 0]T   (16)其中γ和γLOS是状态变量，γf是控制变量，这里及全文中的上标“T”表示矩阵的转置；采用一个新的基于谱分解的方法进行线性时变系统的求解；定义Q(t,t0)=exp(-∫t0tA1f1(τ)dτ)=exp(-A1f2(t,t0))---(17)]]>其中t0是系统的初始时间，且有f2(t,t0)=∫t0tf1(τ)dτ=∫t0tV(τ)R(τ)dτ---(18)]]>基于假设(γ‑γLOS)≈0，可以近似有dR＝‑Vdτ；代入上式可以解得f2(t,t0)=-∫R(t0)R(t)1RdR=ln(R(t0)R(t))---(19)]]>在式(13)左右两端同时左乘Q(t,t0)得exp(-A1f2(t,t0))γ·γ·LOS-exp(-A1f2(t,t0))f1(t)A1γγLOS=exp(-A1f2(t,t0))f1(t)B1γf---(20)]]>上式可改写为exp(-A1f2(t,t0))ddtγγLOS+ddt[exp(-A1f2(t,t0))]γγLOS=exp(-A1f2(t,t0))f1(t)B1γf---(21)]]>逆向利用分步积分法则可以得到ddt{exp(-A1f2(t,t0))γγLOS}=exp(-A1f2(t,t0))f1(t)B1γf---(22)]]>两边同时积分得exp(-A1f2(t,t0))γγLOS-exp(-A1f2(t,t0))γ0γLOS0=∫t0texp(-A1f2(t,t0))f1(τ)B1γfdτ---(23)]]>其中，γ0是初始弹道倾角，γLOS0是初始弹目视线角；exp(‑A1f2(t,t0))＝exp(02×2)＝I2×2是一个2×2的单位矩阵，式中02×2为2×2的零矩阵；Q(t,t0)的逆矩阵如下Φ(t,t0)＝[Q(t,t0)]‑1＝exp(A1f2(t,t0))   (24)其中，Φ(t,t0)叫做状态转移矩阵；在式(23)两端同时左乘Φ(t,t0)可得γ(t)γLOS(t)=Φ(t,t0)γ0γLOS0+∫t0tγff1(τ)Φ(t,τ)B1dτ---(25)]]>由式(15)可得矩阵A1的特征多项式为|λI‑A1|＝λ2+(C1+C2‑1)λ‑C2   (26)可以求得矩阵A1的特征值为λ1=-(C1+C2-1)+Δ2λ2=-(C1+C2-1)-Δ2---(27)]]>其中，Δ=C12+C22+1+2C1C2-2C1+2C2---(28)]]>相反地，也可以得到制导律系数C1和C2关于矩阵A1的两个特征值的表达式C1=1-λ1-λ2+λ1λ2C2=-λ1λ2---(29)]]>定义f3(x,t,t0)＝exp(xf2(t,t0))，将式(19)代入可得f3(x,t,t0)=exp(xf2(t,t0))=(R(t0)R(t))x---(30)]]>由于C1和C2是实数，所以矩阵A1的两个特征值只能是两个不等实数、两个相等实数和复共轭三种情况里的一种；这里将矩阵A1的两个特征值分为两种情况，一种是λ1≠λ2，另一种是λ1＝λ2；(Ⅰ)、当λ1≠λ2时由谱分解公式可得Φ(t,t0)=f3(λ1,t,t0)G1+f3(λ2,t,t0)G2=(R(t0)R(t))λ1G1+(R(t0)R(t))λ2G2---(31)]]>其中，G1和G2是矩阵A1的谱矩阵，且有G1=A1-λ2Iλ1-λ2G2=A1-λ1Iλ2-λ1---(32)]]>其中，I是单位矩阵；代入式(15)和式(27)解得G1=1Δ-C1+C2+1-Δ2C1-1C1+C2+1+Δ2G2=1ΔC1+C2+1+Δ2-C11-C1+C2+1-Δ2---(33)]]>将式(31)代入式(25)右端第二项得∫t0tγff1(τ)Φ(t,τ)B1dτ=∫t0tγf[(R(τ)R(t))λ1G1+(R(τ)R(t))λ2G2]1R(τ)C20[V(τ)dτ]=∫R(t0)R(t)γf[Rλ1-1(τ)Rλ1(t)G1+Rλ2-1(τ)Rλ2(t)G2]C20[-dR(τ)]=[γfλ1(Rλ1(t0)Rλ1(t)-1)G1+γfλ2(Rλ2(t0)Rλ2(t)-1)G2]C20---(34)]]>则由上面的式(25)(31)(34)，可以得到当λ1≠λ2时弹道倾角γ(t)的解析解，从而由可得机动加速度的解析解，如下所示aL(t)=λ1V2(t)ΔR-λ1-1(t)R-λ1(t0)[C1γLOS0-C1+C2+1-Δ2(γ0+C2γfλ1)]+λ1V2(t)ΔR-λ2-1(t)R-λ2(t0)[-C1γLOS0+C1+C2+1+Δ2(γ0+C2γfλ2)]---(35)]]>现证明当t→tf时，存在满足一定条件下的λ1和λ2使得需要对A1的两个特征值λ1和λ2为两个不等实数、一对共轭复数两种情况分别进行证明；a)λ1和λ2为两个不等实数由于终端时刻tf时，弹目交会，有R(tf)＝0；则由式(35)可以得到以下两个结论：(1)若λ1≤‑1,λ2≤‑1且λ1≠λ2，则当t→tf时，aL不发散；(2)若λ1＜‑1,λ2＜‑1且λ1≠λ2，则当t→tf时，b)λ1和λ2为一对共轭复根设λ1和λ2为λ1=p+iqλ2=p-iq---(36)]]>其中，p和q是实数，将上式代入式(29)可得C1=1-2p+p2+q2C2=-p2-q2---(37)]]>将式(36)(37)代入式(35)得加速度解析解表达式为aL(t)=V2(t)R-p-1(t)R-p(t0)sin[qln(R(t)R(t0))][-pC1γLOS0+(p-p2+q2)γ0+(1-p)C2γfq)]+V2(t)R-p-1(t)R-p(t0)cos[qln(R(t)R(t0))][C1γLOS0-(1-2p)γ0+C2γf]---(38)]]>从上式可以看出，加速度曲线会有震荡出现，且当t→tf时，震荡频率趋于无限大，因为此时R(tf)＝0；但是如果p＜‑1，则当t→tf时有limt→tf|R-p-1(t)sin[qln(R(t)R(t0))]|≤limt→tf|R-p-1(t)|=0---(39)]]>limt→tf|R-p-1(t)cos[qln(R(t)R(t0))]|≤limt→tf|R-p-1(t)|=0---(40)]]>即证，当共轭复根λ1和λ2满足实部p＜‑1时，有(Ⅱ)、当λ1＝λ2时，即Δ＝0容易验证A1-λ1I≠0(A1-λ1I)2=0---(41)]]>则可以判断矩阵A1的极小式m(x)为m(x)＝(x‑λ1)2   (42)则由广义谱公式得Φ(t,t0)=f3(λ1,t,t0)I+∂f3(x,t,t0)∂x|x=λ1(A1-λ1I)=(R(t0)R(t))λ1I+(R(t0)R(t))λ1ln(R(t0)R(t))A2---(43)]]>其中A2=(A1-λ1I)=-C1+C2+12C1-1C1+C2+12---(44)]]>将式(43)代入式(25)右端的积分项里，可得∫t0tγff1(τ)Φ(t,τ)B1dτ=∫t0tγf[(R(τ)R(t))λ1I+(R(τ)R(t))λ1ln(R(τ)R(t))A2]1R(τ)C20[V(τ)dτ]=∫R(t0)R(t)γf[Rλ1-1(τ)Rλ1(t)I+Rλ1-1(τ)Rλ1(t)ln(R(τ)R(t))A2]C20[-dR(τ)]=γfλ12[1-(R(t0)R(t))λ1]A3C20+γfλ1(R(t0)R(t))λ1ln(R(t0)R(t))A2C20---(45)]]>其中，A3=A2-λ1I=-1C1-1C1+C2---(46)]]>则由式(25)(43)(45)可以得到，当λ1＝λ2时弹道倾角γ(t)的解析解，从而由可得机动加速度的解析解，如下所示aL(t)=V2(t)R-λ1-1(t)R-λ1(t0)[-(C1+C2)γ0+C2γf+C1γLOS0]-V2(t)R-λ1-1(t)R-λ1(t0)C1+C2-12ln(R(t0)R(t))(C1γLOS0-C1+C2+12γ0C1+C2+1C1+C2-1C2γf)---(47)]]>现在证明当λ1＝λ2＜‑1时，显然此问题等价于证明如下问题：当λ1＜‑1时证明：由于R(tf)＝0，易证当λ1＜‑1时，第二个极限是一个型极限，由L’Hospital法可得limt→tf(R-λ1-1(t)ln(R(t0)R(t)))=limt→tfln(R(t0)R(t))1R-λ1-1(t)=limt→tf[ln(R(t0)R(t))]′[1R-λ1-1(t)]′=-limt→tfR-λ1-1(t)(λ1+1)=0---(48)]]>从而证明了当λ1＝λ2＜‑1时，步骤4：分析弹道成形制导律系数C1和C2的稳定域给定使制导系统稳定的线化近似系统的特征根λ1和λ2，然后由特征根来确定弹道成形制导律系数C1和C2；对特征根λ1和λ2分两种情况进行讨论；Ⅰ.λ1和λ2为实数由步骤3分析得，当λ1≤‑1,λ2≤‑1且λ1和λ2不同时为‑1时，制导系统稳定，并且机动加速度指令不发散；由此可将式(29)改写为如下形式C1=1-λ1+C2/λ1-C2C2≤λ1≤-1C2<-1---(49)]]>若C2是定值，则C1关于λ1的导数为dC1dλ1=-(1+C2λ12)---(50)]]>易得，当时，C1取最小值，即C1≥1+2-C2-C2---(51)]]>当λ1＝‑1或λ1＝C2时，C1取最大值，即C1≤2‑2C2   (52)综上，λ1和λ2为实数情况下弹道成形制导律的系数取值范围为1+2-C2-C2≤C1≤2-2C2C2<-1---(53)]]>Ⅱ.λ1和λ2为一对共轭复根定义函数Re(x)为复数x的实数部，由步骤3分析可得，当Re(λ1)＝Re(λ2)＜‑1时，制导系统稳定，并且机动加速度指令最终收敛到零；则由式(27)可得C1+C2-1>2Δ=C12+C22+1+2C1C2-2C1+2C2<0---(54)]]>整理可得C1>3-C2(C1+C2-1)2<-4C2---(55)]]>即C1>3-C21-2-C2-C2<C1<1+2-C2-C2---(56)]]>易证因此不等式组(56)可以简化为3-C2<C1<1+2-C2-C2---(57)]]>要使恒成立，则须有C2＜‑1；综上可得：若C1＝2‑2C2且C2＜‑1，则TSG制导系统稳定，且在飞行器接近目标的过程中加速度指令不发散；若3‑C2＜C1＜2‑2C2且C2＜‑1，则TSG制导系统稳定，且在飞行器接近目标的过程中加速度指令收敛于0；C1和C2取值范围由传统弹道成形制导律的离散区域扩展到了平面区域，且制导律系数C1和C2的取值范围不受飞行器速度变化的影响；步骤5：终点速度控制方案步骤2所述的第二项终点速度控制方案产生的指令加速度aspeed，此加速度作用在当地水平面内，且垂直于速度，如下式所示aspeed=sgn(ψ0-ψLOS0)kVfg0(RR0)2-sin(ψ)cos(ψ)0---(58)]]>其中，kVf是待定正参数，g0是海平面高度的重力加速度，R0是开始时刻飞行器与目标之间的剩余飞行距离，ψ0是初始时刻的航向角，ψLOS0是初始时刻的视线方位角；sgn(x)为符号函数，如下所示sgn(x)=1x≥0-1x<0---(59)]]>通过调节kVf的值，可以控制飞行器横向机动幅度，从而调整飞行器命中目标时的速度；aspeed与aTSG同时作用在飞行器飞行的末段；aspeed的大小随着飞行器接近目标而逐渐减弱，这样可以避免在飞行器快要命中目标时aspeed对aTSG的干扰；飞行器在进入末制导阶段之前，通过弹道仿真预测命中目标的速度Vf(K)，然后按secant法校正kVf的值，最终获得kVf的理想值，如下所示kVf(K+1)=kVf(K)-(Vf(K)-Vfcmd)(kVf(K)-kVf(K-1))(Vf(K)-Vf(K-1))---(60)]]>其中，Vf cmd是期望的终点速度，K是迭代次数。