[发明专利]基于贝叶斯理论的定时截尾加速验收抽样试验优化设计方法

摘要

本发明公开了一种基于贝叶斯理论的定时截尾加速验收抽样试验优化设计方法，包括以下几个步骤步骤一、确定产品的寿命分布和验证指标参数，然后建立统计假设；步骤二、对选定的产品设计试验决策法则，确定其试验和接收流程；步骤三、基于验后风险准则推导满足双方风险关于验证指标参数的约束条件；步骤四、基于历史数据给出验证指标参数的先验分布，基于MCMC方法，利用WinBUGS14计算满足条件的方案集合；步骤五、确定试验的费用约束，计算得到最优方案；本发明方法首次将贝叶斯理论引入到加速验收抽样试验的优化设计中；本发明将验后风险准则应用在试验方案的求解过程中，首次考虑了试验中加速因子不确定性的影响，并将影响量化表示。

主权项

一种基于贝叶斯理论的定时截尾加速验收抽样试验优化设计方法，其特征在于，包括以下几个步骤：步骤一、确定产品的寿命分布，寿命验证指标参数，然后建立统计假设；指数分布的密度函数有两种表达形式：式中，λ为指数分布的失效率；θ为指数分布的平均寿命；两个表达式实质相同，在使用条件下，参数λU和θU(产品使用条件下的失效率和平均寿命)的关系为λU＝1/θU，相应的指数分布函数的形式为：F(t)＝1‑exp(‑t/θ)与F(t)＝1‑exp(‑λt)  (2)假设试验的加速因子为AF，则根据指数分布场合，其加速应力条件下对使用条件下的加速因子定义为：AF=θUθA=λAλU---(3)]]>为了方便先验分布的选取，选取失效率λA作为其寿命验证指标参数，根据协定的双方风险，在产品的抽样特性曲线(OC Curve)上选择对应的检验上下限λ0＝1/θ0和λ1＝1/θ1，然后建立统计假设如下：H0：λA≤λ0·AF H1：λA＞λ1·AF  (4)当产品批的加速应力下失效率λA≤λ0·AF时，以大概率接收这批产品，即规定生产方风险为α，则接收概率L(λ)≥1‑α；当产品批的加速应力下失效率λA≥λ1·AF时，以小概率接收(高概率拒收)这批产品，即规定使用方风险为β，则接收概率L(λ)≤β；步骤二、对选定的产品设计试验决策法则，确定其试验和接收流程；确定了产品的分布及统计假设后，需要确定定时截尾方案的抽验规则，使用无替换定时截尾试验；截尾方案记为(c，T)，其中T为截尾试验时间，c为接收拒绝数；使用恒定应力加速试验(CSALT)，寿命试验的决策法则即为：(1)在产品批中选择n个样品进行CSALT，加速因子为AF，试验为无替换试验；(2)试验进行到试验累计时间到达预定值T时停止试验，记录试验过程中的失效数；(3)设在试验过程中出现了r故障，如果r≤c，则认为产品批合格，接收；如果r>c，则认为产品不合格，拒收批产品；因此，定时截尾试验设计的主要任务就是选择合适的c和T；步骤三、基于验后风险准则推导满足双方风险关于验证指标参数的约束条件；将验后风险准则应用在试验方案的求解过程中，验后风险准则借助于现场的试验数据，反向推导指标参数的先验分布中与现场试验得出的寿命水平不同的概率，其计算方法侧重对于参数的先验分布主观认可；基于概率论与数理统计的原理，基于验后风险准则原理，弃真风险(生产方风险)α的计算公式如式(5)所示：α=P(R∈θ0|Z∈D1)=∫θ0p(R|Z∈D1)dR=∫θ0P(Z∈D1|R)π(R)dR∫θP(Z∈D1|R)π(R)dR---(5)]]>式(5)中,θ表示产品寿命参数R的全集，即取值范围p(R|Z∈D1)表示在给定Z∈D1的条件下R的概率密度函数，π(R)是寿命参数R的先验分布；由(5)式所见，弃真风险(生产方风险)α的物理含义为：根据决策法则，依据抽样结果拒绝原假设的情况下，但是，产品总体的寿命却是满足要求的；其数学含义为：在拒绝原假设的前提下，产品寿命参数的验后分布满足要求的概率；在验后风险准则中，采伪风险(使用方风险)β的定义如式(6)所示：β=P(R∈θ1|Z∈D0)=∫θ1p(R|Z∈D0)dR=∫θ1P(Z∈D0|R)π(R)dR∫θP(Z∈D0|R)π(R)dR---(6)]]>式(6)中，p(R|Z∈D0)表示在现场试验数据得出Z∈D0基础上的R的概率密度函数；由式(6)可见，采伪风险β的物理含义为：根据决策法则，依据抽样结果接受原假设的情况下，但是，产品总体的寿命却是不满足要求的；其数学含义为：在接受原假设的前提下，产品寿命参数的验后分布不满足要求的概率；首先推导指数分布定时截尾下产品的接收概率L(λ)；根据指数分布的累积分布函数F(t)＝1‑exp(‑t/θ)可知，产品的可靠度R(t)＝exp(‑λt)，到时间t时，n个产品中出现r个故障的概率为CnrF(t)rR(t)n-r---(1)]]>到时间t时，产品的故障率r≤c，从而产品被接受的概率为L(λ)=Σr=0cCnrF(t)rR(t)n-r---(8)]]>由于λ的值都很小，故将R(t)＝exp(‑λt)泰勒展开可得R(t)=e-λt=1-λt+12!λ2t2-...≈1-λtF(t)=1-R(t)=λt---(9)]]>即可得接受概率L(λ)=Σr=0cCnr(λt)r(1-λt)n-r---(10)]]>在nλt≤5，F(t)≤10％的条件下，二项概率可用泊松概率近似，于是得到：L(λ)=Σr=0ce-nλt(nλt)rr!---(11)]]>由于n较小，故T≈nt，从而L(λ)=Σr=0ce-λT(λT)rr!---(12)]]>对于验证指标失效率λ，根据Bayes理论，取其共轭先验分布为Gamma分布，记为Gamma(a,b)，即：π(λ|a,b)=baΓ(a)λa-1e-bλ---(13)]]>其中，Γ(a)为Gamma函数，其定义为：Γ(a)=∫0∞e-xxa-1dx---(14)]]>根据验后风险准则和对指数型产品先验分布和接受概率的表达式的推导以及加速条件λA＝λU·AF，对于生产方后验风险α(c,T)的计算公式为：α(c,T)=P(λ≤AF·λ0|t≥T)=∫0AF·λ0p(λ|t≥T)dλ=∫0AF·λ0P(t<T|λ)π(λ)dλ∫0∞(t<T|λ)π(λ)dλ=∫0AF·λ0(1-Σr=0ce-λT(λT)rr!)π(λ)dλ∫0∞(1-Σr=0ce-λT(λT)rr!)π(λ)dλ---(15)]]>使用方后验风险β(c,T)的计算公式为：β(r,T)=P(λ>AF·λ1|t≥T)=∫AF·λ1∞p(λ|t≥T)dλ=∫AF·λ1∞P(t≥T|λ)π(λ)dλ∫0∞(t≥T|λ)π(λ)dλ=∫AF·λ1∞(1-Σr=0ce-λT(λT)rr!)π(λ)dλ∫0∞(1-Σr=0ce-λT(λT)rr!)π(λ)dλ---(16)]]>为了获得验证试验方案，需要解下列满足双方风险的约束条件：α(c,T)＝P(λ≤AF·λ0|t≥T)≥1‑α(17)β(c,T)＝P(λ＞AF·λ1|t≥T)≤β(18)步骤四、基于历史数据给出验证指标参数的先验分布，基于马尔科夫蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo,MCMC)方法，利用WinBUGS14计算满足条件的方案集合；使用基于马尔科夫蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo,MCMC)方法，并利用WinBUGS14计算满足条件的方案；具体的，由步骤三可知，指数分布型产品对于验证指标失效率λ，根据Bayes理论，取其共轭先验分布即Gamma分布，记为Gamma(a,b)，分别定义参数a和b均服从分层先验分布Gamma(η,κ)；为了描述加速因子的不确定性，将加速因子的波动以概率分布的形式进行描述，为了简单起见，定义加速因子服从的概率分布为均匀分布U(A,B)；则由MCMC方法并利用WinBUGS14可得到参数的后验均值，假设蒙特卡洛模拟的次数为N次，λ的N次后验抽样计为λ(j)，先验分布两参数a，b的N次后验抽样分别计为(a(j),b(j))，加速因子AF的N次抽样计为AF(j)，令g(j)(r)=(b(j))a(j)Trr!Γ(a(j))(T+b(j))r+a(j)---(19)]]>则生产方的后验风险(15)可写为：α(c,T)=Σj=1N[1-Σr=0ce-λ(j)T(λ(j)T)rr!]I(λ(j)≤λ0·AF(j))Σj=1N[1-Σr=0ce-λ(j)T(λ(j)T)rr!]=Σj=1N[Σr=0cg(j)(r)γ(r+a(j),(T+b(j))λ0AF(j))]Σj=1N[Σr=0cg(j)(r)Γ(r+a(j))]---(20)]]>使用方的后验风险为：β(r,T)=Σj=1N[1-Σr=0ce-λ(j)T(λ(j)T)rr!]I(λ(j)≥λ1·AF(j))Σj=1N[1-Σr=0ce-λ(j)T(λ(j)T)rr!]=Σj=1N[Σr=0cg(j)(r)(Γ(r+a(j))-γ(r+a(j),(T+b(j))λ1AF(j)))]Σj=1N[Σr=0cg(j)(r)Γ(r+a(j))]---(21)]]>式中的是不完全gamma函数；求解关于双方风险的约束条件(17)和(18)，可以得到满足约束条件的方案集合(c,T)；步骤五、确定试验的费用约束，计算得到最优方案；由(17)和(18)可获得满足双方风险条件的试验方案(c,T)集合，以及实际的双方风险，在考虑试验费用的情况下，对方案进行进一步优化，考虑优化参数为c，T，α，β，假设下列参数的定义如下：a1：与试验时间相关的试验费用，包括试验过程中的电力，物力及人力损耗，试验时间越长损耗越高；a21：与试验样品有关的试验费用，失效的样品越多则损耗越高；a22：经过试验但未失效的样本造成的试验损失，样本虽未失效，但是已经过了一定时间的使用损耗，不具有最初的性能；a3：与生产方风险有关的试验费用，包括产品的重新设计与生产延误、销售市场的萎缩；a4：与使用方风险有关的试验费用,括产品使用过程当中的维护保障、任务延迟损失；由以上参数可得考虑产品试验费用为：f(c,T,α,β)＝a1·T+a12·c+a22·(n‑c)+a3·α+a4·β  (22)优化目标使上述试验费用最小。