[发明专利]一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法

说明书

本发明公开了一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法，包括：把定常双曲守恒律问题转化为依赖时间的双曲守恒律问题，用新型的五阶ILW边界处理方法处理物面边界；将双曲守恒律方程空间部分用有限差分多重分辨加权基本无振荡格式离散；对控制方程中的时间部分用三阶龙格库塔方法和定点快速扫描法离散；根据时空全离散方法得到下一时间层每一个点的近似值，得到计算区域内守恒变量的残差在趋于稳定时的数值模拟结果。该方法能保持物面边界附近计算格式高阶精度不降低的优点，有效减少空间模板的使用数量和减少需要人为调整的参数，实施更加简单且易于实现。

技术领域

本发明属于计算流体力学工程技术领域，具体涉及一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法。

背景技术

双曲守恒律方程的稳态问题是流体力学领域中经常遇到的数学问题，在工程应用中也占据重要的位置。因此，构造解决此类问题的高鲁棒性和高精度数值模拟方法变得很重要，很多学者也在这一领域攻坚克难。由于实际的问题当中计算区域多种多样，导致其物理量残差很难收敛到机器零。因此设计一种可以使残差下降到机器零的物面边界的高精度算法显得格外重要。在计算大型定常问题时，虽然大型超级计算机的广泛应用可以使计算对时间没那么敏感，但在算法设计中，程序运行的效率依然非常重要。

为捕捉流场内的激波，很多激波捕捉格式被设计出来。Godunov最先提出了一阶精度的激波捕捉格式。一阶精度的数值方法能抑制非物理振荡但会把大梯度处过度抹平，而强间断对物理现象的描述十分重要，因此需构造高阶精度的数值格式来更精确捕捉强间断。Harten于1983年首次提出了全变差减少(TVD)格式，之后Osher接着提出了本质无振荡格式(ENO)格式。ENO格式的主要思想是在逐次扩展的模板中选用最光滑的模板构造多项式求出单元半点的值，进而在光滑区域达到高阶精度，同时在间断附近实现基本无振荡的效果。但通过格式的构造过程可以看到，ENO格式是选用所有候选模板中的最优模板，其他的模板全部浪费掉，且数值精度越高浪费得越多，严重影响了计算效率。为了提高模板更有效的使用，Liu，Osher和Chan等于1994年提出了加权本质无振荡(WENO)格式，提高了一阶的计算精度。1996年，Jiang和Shu进一步改善了WENO格式，使得数值精度能够提高到2r-1阶，并设计出了光滑因子和非线性权的构造框架。WENO格式的主要思想是通过低阶重构通量的线性凸组合获得高阶近似。但该经典WENO格式的实现过程中，线性权的计算复杂，且在很多定常问题中残差无法下降到机器零。因此，2018年Zhu和Shu提出了多重分辨WENO格式，通过设计了不等距模板，让线性权可以任取为和为1的正数，且在光滑区域格式的数值精度保持最优，可使许多经典的定常问题算例残差可以下降到接近机器零。

但是对于复杂的计算区域的数值模拟，有限差分方法最大的困难就是物面边界的处理。目前非贴体网格的主要方法有浸入边界法、嵌入边界法、SharpInterface方法、虚拟单元法。但这些方法都有各自的局限性，而且有一个共同的缺点，数值精度达不到高阶。于是2010年Sirui Tan提出了ILW边界处理方法，通过泰勒展开构造虚拟流场点上的值，耦合高阶WENO外推成功模拟了静止和运动物体的流动问题，数值结果显示对于静止问题可以达到五阶精度，对于运动问题可以达到三阶精度。之后ILW边界处理方法又被推广到了求带源项的欧拉方程，使得求解带粘性的NS方程也成为可能。后来又被改进为了简化的ILW边界处理方法，即高阶导数可直接由多项式外推得到，不用ILW过程依然不影响精度。