[发明专利]一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法

权利要求书

1.一种静止轨道卫星小推力长期位置保持方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤一：通过球坐标，建立静止轨道卫星受环境摄动作用下的在含轨道面内和面外的空间中的运动模型，并分析静止轨道卫星周期性运动规律；

步骤1.1：建立球坐标描述的仅包含卫星轨道面内运动的二维模型，并分析静止轨道卫星周期性运动规律；

定义天球坐标系，坐标原点在地心，x轴指向春分点，z指向天球北极，y轴的方向符合右手定则；用二维球坐标{r,λ}和三维球坐标{r,λ,φ}分别描述静止轨道卫星在轨道平面内和平面外的运动；其中，r是静止轨道卫星到地心的距离，λ是静止轨道卫星赤经，φ是静止轨道卫星赤纬；

根据运动学规律，静止轨道卫星在轨道面内的加速度表示为如下形式：

其中，Ω是静止轨道卫星的升交点赤经；

根据卫星摄动规律，静止轨道卫星的面内运动主要受地球非球形摄动的影响，摄动加速度具有如下形式：

其中，下标ENP表示地球非球形摄动，g₀是地球引力常数，R₀是地球半径；J_n是地球非球形摄动的带谐项系数，J_nm是地球非球形摄动的田谐项系数，n,m分别表示系数的阶数和次数；γ是静止轨道卫星和地心的连线与赤道面短轴的夹角；X_n,Y_nm,Z_nm表示地球非球形摄动常数；

将公式(1)与公式(2)联立，建立卫星在轨道平面内运动的二维模型，形式如下：

一般情况下忽略公式(3)中的高阶项，仅保留2阶2次项，即n＝2,m＝2，表示为：

将卫星球坐标(r,λ,φ)在基准点(r₀,λ₀,φ₀)处展开，表示为：

r＝r₀+Δr

λ＝λ₂₂+γ₀+Δγ

γ＝γ₀+Δγ (5)

其中，Δr,Δγ为小量；

联立公式(4)与公式(5)，建立卫星在轨道面内运动的二维平均模型

公式(6)具有平衡解，揭示了长期演化下静止轨道卫星在相平面的运动轨迹，所述运动轨迹绕两个稳定平衡点和两个不稳定平衡点进行周期性运动；

步骤1.2：建立球坐标描述的在轨道面外运动的三维模型，并分析静止轨道卫星周期性运动规律

根据运动学规律，静止轨道卫星在轨道面外运动的加速度表示为如下形式:

根据卫星摄动规律，静止轨道卫星在轨道面外的运动还受到日月第三体引力的影响，日月第三体引力摄动加速度具有如下形式：

其中，下标LSP表示日月第三体引力摄动，是地月系统中心绕太阳旋转的角速度，是地月系统绕其中心运动的角速度；μ是地球引力常数；a_x,a_y,b_x,b_y,c_x,c_y是日月第三体引力系数；

静止轨道卫星在轨道面外的运动同时受到地球非球形摄动和日月第三体引力的影响；联立公式(2)、(7)、(8)建立静止轨道卫星在轨道面外的三维运动模型；

考虑非球形摄动和日月引力摄动作用下的平均哈密顿函数，具有如下形式：

其中n_e是地球自转角速度，a_e是地球半径，a是卫星轨道半长轴，n_body是第三引力体的自转角速度，主要包含太阳自转角速度n_s和月亮自转角速度n_m；∈是黄道面和赤道面的夹角，

借助平均化后的哈密顿函数分析静止轨道卫星面外运动的周期性规律，通过计算公式(9)的平衡解，得到周期性运动规律，即在轨道长期演化下，静止轨道卫星在相平面(Ω,φ)的运动轨迹将绕平衡点进行周期性运动；

步骤二：通过选取静止轨道卫星的定点位置保持窗口，获得在定点窗口内的卫星在无控状态下的长周期运动轨迹，即漂移段轨迹；

国际上定义静止轨道卫星的定点窗口为：在赤经赤纬相平面(λ,φ)内以理想定点位置为中心的矩形邻域；定点窗口的数学模型具有如下形式：

-Δλ≤λ-λ_d≤Δλ (10)

-Δφ≤φ≤Δφ (11)

其中，下标d表示理想定点位置；Δλ,Δφ表示定点窗口边界与定点窗口中点的距离；

将定点窗口对卫星赤经λ的约束，即公式(10)代入公式(6)；定点窗口对卫星赤纬φ的约束，即公式(11)代入公式(9)，获得卫星在相平面和相平面内的漂移段轨迹；

步骤三：建立卫星在轨道面内和面外的小推力位置保持控制模型；

步骤3.1建立卫星在轨道面内的小推力位置保持控制模型

考虑小推力和环境摄动的卫星动力学模型的矩阵形式如下

其中，下标2D表示卫星面内运动的二维模型，u表示推力器的开关机常数，T表示推力器提供的推力大小，I_sp是推力器的比冲；

针对面内运动，是二维模型的状态变量，d_2D＝(d_r,d_λ)^T是二维模型的推力方向矢量，是二维模型的推力系数矩阵，是二维模型的摄动系数矩阵；

步骤3.2建立卫星在轨道面外的小推力位置保持控制模型

考虑小推力和环境摄动的卫星动力学模型的矩阵形式如下

其中，下标3D表示卫星面外运动的三维模型针，是三维模型的状态变量，d_3D＝(d_r,d_λ,d_φ)^T三维模型的推力方向矢量，

是三维模型的推力系数矩阵，

是三维模型的摄动系数矩阵；

步骤四：基于步骤二获得的卫星漂移段轨迹和步骤三获得的卫星小推力位置保持控制模型，建立小推力位置保持的时间最优和燃料最优求解模型；

4.1建立推力段轨迹的初末状态约束

为了使得静止轨道卫星始终位于定点窗口，漂移段轨迹和推力段轨迹需构成闭环轨迹；因此推力段轨迹初态点与漂移段轨迹的末态点重合，推力段轨迹末态点与漂移段轨迹的初态点重合；则针对时间、燃料最优模型的初末状态约束表示如下：

步骤4.2建立小推力位置保持的时间最优模型

实现时间最优的目标函数具有如下形式：

其中，下标MT表示时间最优模型；

实现时间最优的哈密顿函数具有如下形式：

定义协态变量为哈密顿函数H对状态变量x和m的偏导，形式如下：

其中，是协态变量的推力系数矩阵，是协态变量的摄动系数矩阵；

利用庞特里亚金极大值原理获得时间最优推力矢量d_MT^*的矩阵表达式：

因此，小推力位置保持的时间最优模型表达式如下：

公式(19)需要满足的约束条件如下：

步骤4.3基于步骤4.2的时间最优模型，建立小推力位置保持的燃料最优模型

实现燃料最优的目标函数具有如下形式：

其中，下标MF表示燃料最优模型，ε是同伦系数；

实现燃料最优的哈密顿函数具有如下形式：

定义协态变量为哈密顿函数H对状态变量x和m的偏导，形式如下：

利用庞特里亚金极大值原理可以获得燃料最优推力矢量d_MF^*的矩阵表达式：

因此，小推力位置保持的燃料最优问题可以用如下形式的数学模型描述：

求解时间最优问题得到的最优转移时间(t_f)_MT将作为燃料最优问题求解的约束条件之一，所有约束条件如下：

步骤4.4将时间/燃料最优问题转化为两点边值问题；

由公式(19)和(25)可知，任意时刻t的状态变量值和协态变量值为初始时刻状态变量值和协态变量值的函数，如下所示：

[x(t),p_x(t)]^T＝f([x(t_i),p_x(t_i)]^T,t_i,t) (27)

公式(19)和(20)建立的时间最优问题描述为寻找[x(t_i),(p_x)_MT(t_i)]^T使得

[x(t_f),p_x(t_f)]^T＝f([x(t_i),(p_x)_MT(t_i)]^T,t_i,t) (28)

满足

同理，公式(25)和(26)建立的燃料最优问题模型描述为寻找[x(t_i),(p_x)_MF(t_i)]^T使得

[x(t_f),p_x(t_f)]^T＝f([x(t_i),(p_x)_MF(t_i)]^T,t_i,t) (30)

满足

因此，时间和燃料最优问题转化成为了两点边值问题；

步骤五：直接求解步骤4.4建立的两点边值问题，并将结果带入步骤四，获得小推力位置保持的时间最优和燃料最优控制律；

步骤六：应用步骤五所述的位置保持控制律，从而实现静止轨道卫星的小推力长期位置保持。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于：步骤四所述的两点边值问题，是通过协态初值猜测方法求解的，具体步骤如下：

步骤1、通过初末轨道根数的偏差，计算进行位置保持所需的脉冲推力ΔV^*和脉冲推力的作用位置

步骤2、搜索包含脉冲推力作用经度的连续推力弧段，使卫星能够完成与施加脉冲推力ΔV^*后同样效果的位置保持，并记录连续推力弧度的开机和关机赤经和开机的总时长Δt^*；利用连续推力F_const及弧段中点计算所对应的协态变量

步骤3以步骤2所得到的协态变量和开机总时长Δt^*为初始值，代入公式(30)和约束条件(31)，通过不断更新最终获得最优的初始值，从而解决两点边值问题。