[发明专利]用于机械非线性振动分析的方程求解方法

说明书

本发明公开了一种用于机械非线性振动分析的非线性动力学方程求解方法及系统，包括以下步骤：根据待分析的机械非线性振动系统，构建获得系统时域上非线性有限元动力学方程；通过多谐波平衡法，获得频域上非线性有限元动力学方程；利用自动微分方法求解频域上非线性有限元动力学方程的雅可比矩阵；采用弧长法求解频域上非线性有限元动力学方程，获得频域上非线性有限元动力学方程的解；根据频域上非线性有限元动力学方程的解，通过广义傅里叶逆变换，获得时域上非线性有限元动力学方程的解，进而获得频响曲线，进行机械非线性振动分析。

技术领域

本发明属于机械振动安全性分析以及非线性动力学方程求解技术领域，具体涉及一种用于机械非线性振动分析的非线性动力学方程求解方法及系统。

背景技术

机械部件振动安全性分析中涉及大量的强非线性现象，如转子动力学中裂纹现象、涡轮叶片的干摩擦阻尼等；包含强非线性作用力的动力学方程求解困难，通常采用谐波平衡法将原始方程变换为谐波分量的平衡方程，然后利用牛顿迭代法对非线性方程进行求解。

牛顿迭代法求解谐波平衡法的核心步骤是推导强非线性作用力谐波项对位移谐波项的雅可比矩阵，其精确程度会直接影响非线性方程组的求解效率，精度较低的雅可比矩阵甚至会造成求解过程无法收敛；由于原始方程的变换过程涉及广义傅里叶变换，且非线性作用力表达式复杂，雅可比矩阵无法显式表达，需要通过链式微分法则根据具体的非线性作用力重新推导，导致传统的求解方法存在很大的限制，不具备普适性。

综上，亟需一种新的用于机械非线性振动分析的非线性动力学方程求解方法及系统。

发明内容

本发明的目的在于提供一种用于机械非线性振动分析的非线性动力学方程求解方法及系统，以解决上述存在的一个或多个技术问题。本发明所要解决的主要问题是，现有的求解技术难以进行含有复杂非线性力的机械部件振动安全性分析，且存在严重依赖专家经验、耗费计算资源等缺点；本发明的方法能够快速推导强非线性作用力谐波项对位移谐波项的雅可比矩阵，从而加快机械非线性振动分析方程的求解。

为达到上述目的，本发明采用以下技术方案：

本发明的一种用于机械非线性振动分析的非线性动力学方程求解方法，包括以下步骤：

步骤1，根据待分析的机械非线性振动系统，构建获得系统时域上非线性有限元动力学方程，表达式为：

式(1)中，k、c、m分别表示系统的刚度、粘滞阻尼及质量矩阵；x表示系统内所有自由度的位移向量；f_n(x)表示非线性力向量；f_l(t)表示外部激励向量；

步骤2，通过多谐波平衡法，将式(1)中的x以及f_l(t)进行广义傅里叶变换，获得频域上非线性有限元动力学方程；

步骤3，利用自动微分方法求解步骤2获得的频域上非线性有限元动力学方程的雅可比矩阵；

步骤4，根据步骤3获得的雅可比矩阵，采用弧长法求解步骤2获得的频域上非线性有限元动力学方程，获得频域上非线性有限元动力学方程的解；

步骤5，根据步骤4获得的频域上非线性有限元动力学方程的解，通过广义傅里叶逆变换，获得时域上非线性有限元动力学方程的解；根据时域上非线性有限元动力学方程的解，获得频响曲线，进行机械非线性振动分析。

本发明的进一步改进在于，步骤2具体包括：

步骤2.1，将式(1)中的x进行傅里叶展开，获得的表达式为：

式(2)中：

D＝[I,Icos(ωt),Isin(ωt),...,Icos(N_kωt),Isin(N_kωt)]；