[发明专利]一种基于超收敛插值逼近的三维电磁慢扩散数值模拟方法

权利要求书

1.一种基于超收敛插值逼近的三维电磁慢扩散数值模拟方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)、将复电导率表达式引入Maxwell方程组作为电磁场迭代控制方程，引入复电导率后的电磁扩散过程早期与经典扩散一致，晚期衰减缓慢，符合实际观测中的电磁拖尾现象；

2)、将控制方程中的复频变量负分数次幂转化为正分数次幂，并进行频-时转换得到含有Caputo分数阶微分项的时间域电磁场控制方程；

3)、对电场控制方程中的电场分量进行二次插值多项式近似，再对等式两端进行求导，代入Caputo分数阶导数超收敛插值逼近公式，得出分数阶微分项非均匀步长离散近似公式，完成分数阶微分方程的直接求解；

4)、采用有限差分方法对控制方程各偏导项进行离散，递归得出电磁场各分量的控制方程；

5)、采用非均匀三维Yee氏网格对计算区域进行剖分，设置计算域电导率、磁导率和人工介电常数，计算初始场；

6)、加载C-PML边界条件并使用GPU加速，并在观测时间内开展电、磁场各分量迭代运算；

7)、迭代计算结束后，提取电磁场各分量响应并进行成图，对结果进行分析处理；

其中步骤1)中，复电导率主要用于模拟电磁场慢扩散现象，复杂介质的扩散过程通常会跨越多个空间尺度，介质的非均匀性和各向异性决定了电磁扩散需要进行多尺度复合模拟；引入一个大于0小于1的权重系数，通过调整权重系数进行描述岩石随频率电导率变化，当权重系数等于零时，此电磁扩散过程退化为经典的电磁扩散过程；

复电导率表达式为：

σ(ω)＝σ₀+ησ₀(iω)^-β (1)

式(1)中σ₀为直流电导率，η为权重系数，i为虚数单位，ω为角频率，β为粗糙度，β和η的取值均大于0小于1；

其中步骤2)中将控制方程中的复频变量负分数次幂转化为正分数次幂，再进行频-时变换得：

其中ε为真空中介电常数，μ为磁导率，E为电场，H_m为磁场，为哈密顿算子，为Caputo分数阶导数，α为一非负实数，0为积分下限，t为积分上限；

其中步骤3)中对电场控制方程中电场分量进行超收敛插值逼近求解的过程为：

先在区间[t_k-1,t_k]上，利用三点(t_k-1,E(t_k-1)),(t_k,E(t_k)),(t_k+1,E(t_k+1))对E(t)做二次插值多项式近似可以得到：

再对式(4)进行求导：

其中E(t_k-1)、E(t_k)、E(t_k+1)为电场在不同时刻的电场值，Δt_k＝t_k-t_k-1，Δt_k+1＝t_k+1-t_k；

Caputo分数阶超收敛格式为：

式(6)中

最后将式(5)代入式(6)得到任意步长下分数阶微分的超收敛离散近似格式：

其中步骤4)中采用有限差分方法对式(3)中偏导项进行离散，将电磁场控制方程展开，进行差分离散近似，得到电磁场各分量迭代方程，其中x方向电磁场迭代方程为：