[发明专利]获取混合边界条件下轴向移动绳索设备横向振动的方法

权利要求书

1.一种获取混合边界条件下轴向移动绳索设备横向振动的方法，所述混合边界条件是指在轴向移动绳索设备的两端边界中，一端边界是典型边界，另一端边界是非典型边界；其特征是：所述获取混合边界条件下轴向移动绳索设备横向振动的方法是：

根据哈密顿原理获得轴向移动绳索设备运动方程，将所述轴向移动绳索设备运动方程的解表示为两个行波的叠加，所述两个行波的叠加是指左移行波与右移行波的叠加；并获得混合边界约束方程组；

根据轴向移动绳索设备的运动初始条件推导出所述两个行波的初始表达；

根据行波在所述绳索设备中的运动规律，以及行波在所述绳索设备两端边界的反射叠加规律，确定绳索设备的振动周期T；

将一个振动周期T分为三个阶段，将所述轴向移动绳索设备运动方程、运动初始条件和运动方程解的行波叠加式分别与混合边界约束方程相结合，获得一个振动周期T中各阶段的反射波响应方程；针对一个振动周期中的三个不同阶段，分别将轴向移动绳索设备边界上的入射波和反射波进行叠加，获得横向振动位移响应；

所述获取混合边界条件下轴向移动绳索设备横向振动的方法按如下步骤进行：

步骤1：根据哈密顿原理获得轴向移动绳索设备运动方程如式(1)：

u_tt+2vu_xt+(v²-c²)u_xx＝0              (1)

x表示绳索设备的轴向坐标，t表示时间，v表示绳索设备的轴向移动速度；

u表示绳索横向振动位移,u是x和t的函数，u＝u(x,t)；

u_tt是u对t的二阶偏导数；u_xx是u对x的二阶偏导数；u_xt是u分别对x和对t的一阶偏导数；

c表示行波的速度；

将式(1)的解u(x,t)表示为两个行波叠加的形式，如式(2)：

u(x,t)＝F(x-v_rt)+G(x+v_lt)           (2)

对于轴向移动绳索设备的两端边界，定义左端边界为x＝0，右端边界为x＝l₀，l₀为绳索长度；

v_r为相对于固定坐标系的绳索中右移行波的速度；

v_l为相对于固定坐标系的绳索中左移行波的速度；

F(x-v_rt)表示速度为v_r的右移行波，记为F；

G(x+v_lt)表示速度为v_l的左移行波，记为G；

步骤2：确定绳索设备的运动初始条件和混合边界条件约束方程组：

设定t＝0时，绳索设备的运动初始条件如式(3)：

式(3)中：

u(x,0)表示t＝0时刻的绳索横向振动位移，u_t(x,0)表示u(x,0)对t的一阶偏导数；

函数φ(x)为固定坐标系中绳索设备上不同位置的初始横向位移；

函数ψ(x)为固定坐标系中绳索设备上不同位置的初始速度；

所述混合边界条件约束方程组在x＝0处的典型边界为固定边界，在x＝l₀处的非典型边界为阻尼边界，由式(4)所表征：

式(4)中：

u(0,t)表示在x＝0处绳索设备的振动位移；η表示阻尼系数；

u_t(l₀,t)表示在x＝l₀处u对t的一阶偏导数；ρ表示绳索的线密度；

u_x(l₀,t)表示在x＝l₀处u对x的一阶偏导数；P表示绳索设备的张力；

步骤3：由式(5)确定振动周期T：

按照行波在所述绳索设备中的运动规律、以及行波在所述绳索设备两端边界的反射叠加规律，将振动周期T分为三个阶段，分别为第一阶段[0，t_a]，第二阶段[t_a,t_b]和第三阶段[t_a,T]，其中0t_at_bT；

步骤4：结合运动初始条件和混合边界约束方程获取绳索设备在第一阶段[0,t_a]的横向振动位移：

第一阶段[0,t_a]中，左移行波G分为行波G₁和行波G₂，右移行波F分为行波F₁和行波F₂；其中，行波G₂是行波F₁在右边界x＝l₀处的反射波，行波F₂是行波G₁在左边界x＝0的处的反射波；

结合运动初始条件(3)和式(2)分别获得行波F₁和行波G₁的表达如式(6)：

式(6)中：

F₁(x-v_rt)表示速度为v_r的右移行波，记为F₁；

G₁(x+v_lt)为速度为v_l的左移行波，记为G₁；ξ为积分变量；D为积分常数；

结合由式(4)所表征的混合边界条件约束方程组和由式(7)所表征的连续性条件,分别得到由式(8)所表征的行波G₂和由式(9)所表征的行波F₂

G₂(l₀)＝G₁(l₀)                    (7)

其中：

G₂(x+v_lt)为速度为v_l的左移行波，记为G₂；

F₂(x-v_rt)为速度为v_r的右移行波，记为F₂；

由式(6)、式(8)和式(9)获得第一阶段的左移行波和右移行波表达如式(10)和式(11)：

由式(10)和式(11)，将左移行波与右移行波叠加获得第一阶段的绳索设备的振动位移响应如式(12)：

u(x,t)＝F(x-v_rt)+G(x+v_lt),0＜t＜t_a       (12)

步骤5：结合运动方程、运动方程解的行波叠加式(2)和混合边界约束方程获取绳索设备在第二阶段[t_a,t_b]的横向振动位移：

在第二阶段[t_a,t_b]中，对于v0，左移行波G分为行波G₁、行波G₂和行波G₃，右移行波F为行波F₂；行波F₂为入射波，G₃是F₂在右边界x＝l₀处的反射波；

由混合边界约束方程和式(2)得到G₃和F₂的关系如式(13)所表征：

连续性条件表征为式(14)和式(15)：

将式(14)和式(15)代入式(13)获得由式(16)所表征的G₃：

在第二阶段[t_a,t_b]中，对于v0，左移行波G即为行波G₂，右移行波F分为行波F₁、行波F₂和行波F₃；行波F₃是行波G₂在左边界x＝0处的反射波；利用混合边界约束方程和式(2)得到F₃和G₂的关系如式(17)：

式(17)中，G₂(l₀)和F₁(l₀)分别满足连续性条件，表征为式(18)和式(19)：

G₂(l₀)＝G₂(l₀+v_lt_b)                           (18)

F₁(l₀)＝F₁(l₀-v_rt_b)                            (19)

令x＝l₀,t＝t_b代入式(6)和式(8)，并结合式(18)，式(19)获得G₂(l₀)、F₁(l₀)，表征为式(20)和式(21)：

将式(20)和式(21)代入式(17)得式(22)：

由式(6)、式(8)、式(9)、式(16)和式(22)获得第二阶段[t_a,t_b]中的左移行波和右移行波表达如式(23)和式(24)：

由式(23)和式(24)，将左移行波与右移行波叠加获得第二阶段[t_a,t_b]的绳索设备的振动位移响应由式(25)所表征：

u(x,t)＝F(x-v_rt)+G(x+v_lt),t_a＜t＜t_b          (25)

步骤6：根据第一阶段[0,t_a]和第二阶段[t_a,t_b]的行波表达式获取移动绳索设备在第三阶段[t_b,T]的横向振动位移：

在第三阶段[t_b,T]中，左移行波G分为行波G₂和行波G₃，右移行波F分为行波F₂和行波F₃；行波G₃是行波F₂在右边界x＝l₀处的反射波；行波F₃是行波G₂在左边界x＝0处的反射波；

由式(8)、式(9)、式(16)和式(22)获得第三阶段[t_b,T]中的左移行波和右移行波表达式如式(26)和式(27)所表征：

由式(26)和式(27)，将左移行波与右移行波叠加获得第三阶段[t_b,T]的绳索设备的振动位移响应，如式(28)所表征：

u(x,t)＝F(x-v_rt)+G(x+v_lt),t_b＜t＜T      (28)

所述式(12)、式(25)和式(28)即为绳索设备在一个振动周期T内横向振动位移的分段解析表达式。