[发明专利]一种计算静磁场的正则化有限元数值方法

权利要求书

1.一种计算静磁场的正则化有限元数值方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1、建立与待分析的静磁场问题相对应的磁矢势方程，即采用磁矢势方程来描述静磁场，所述磁矢势方程在Ω中为：

curl(νcurlA)＝J_s (1)

其中，A表示磁矢势，J_s表示线圈中的激励电流密度，ν表示磁阻率，Ω表示求解区域，且在边界Γ_B上，对应的边界条件：

n×A＝0 (2a)

在边界Γ_H上，对应的边界条件：

n×curlA＝0 (2b)

其中，n表示边界的单位外法向量，同时为保证磁矢势A的唯一性，在上述求解区域Ω引入磁矢势A的散度约束条件，所述散度约束条件选用Coulomb规范：即在Ω中满足

divA＝0 (3)；

步骤2、建立所述磁矢势方程即公式(1)、边界条件即公式(2a)及(2b)及约束条件即公式(3)，所对应的约束变分公式；

所述步骤2中具体包括如下步骤：

对公式(1)、(2a)以及(2b)，建立对应的自然变分公式，即使得式(1)、(2)的解对应泛函Π取驻值：

δΠ(A)＝∫_ΩνcurlA·curl(δA)dΩ-∫_ΩδA·J_sdΩ＝0 (4)

式(4)中，δ为变分号；

对磁矢势场函数施加约束条件，即引入Lagrange乘子λ对所述磁矢势场函数施加式(3)所示的约束条件，进而构造出所对应的修正泛函：

Π^*＝Π-∫_Ωλ·divAdΩ (5)

且式(5)中所引入的Lagrange乘子λ在边界Γ_B上满足λ＝0的条件；并使得修正泛函Π^*取驻值的条件为：

δΠ+∫_ΩδA·gradλdΩ＝0 (6a)

∫_ΩA·gradδλdΩ＝0 (6b)；

步骤3、对步骤2得到的所述约束变分公式，采用有限元方法进行数值离散，以得到所对应的离散的鞍点系统；

所述步骤3中具体包括如下步骤：

对求解域Ω剖分网格，并对磁矢势A的磁矢势场函数采用矢量基函数插值，对Lagrange乘子λ采用标量基函数插值：

A＝W^Tξ (7a)

λ＝N^Tη (7b)

其中，W是磁矢势A的矢量基函数，N是Lagrange标量乘子λ的标量基函数，ξ表示磁矢势A在求解域Ω内的棱边自由度，η表示Lagrange乘子λ在求解域Ω内的节点自由度；

将(7)式代入到(6a)、(6b)中，并令δA为矢量基函数W，δλ为标量基函数N，得到对应的有限元方程即所述离散的鞍点系统：

式中，K为双旋度算子对应的离散矩阵，其表示为

K＝∫_ΩνcurlW·(curlW)^TdΩ；

G为散度算子对应的离散矩阵，其表示为

G＝∫_ΩW·(gradN)^TdΩ；

J为载荷向量，其表示为

J＝∫_ΩW·J_sdΩ；

步骤4、将所对应的鞍点系统转为一个无约束的最小化问题，并缩减掉所对应的鞍点系统的Lagrange乘子自由度，得到一个对称正定的系统，并采用预处理的共轭梯度法对所对应的对称正定系统进行求解；

所述步骤4中具体包括如下步骤：

首先将求解(8)式所述的鞍点系统等效为下式(9)所示的含约束的最小化问题：

再将式(9)转为相应的无约束最小化问题

并且式(10)中不含有Lagrange乘子自由度η，即Lagrange乘子自由度被减缩掉；式(10)中，γ为正则化系数；使得式(10)的变分为0，得到以下的方程

[K+γG^TG]{ξ}＝{J} (11)

则当γ＞0时，式(11)中的矩阵K+γG^TG是对称正定的，即获得所对应的对称正定系统，并采用预处理共轭梯度法对所对应的对称正定系统进行求解；

步骤5、对所获得的计算结果进行后处理。

2.根据权利要求1所述的计算静磁场的正则化有限元数值方法，其特征在于：

参数γ值确定方法包括：

式(12)中，h_min为所述剖分网格中的最小网格尺寸。