[发明专利]基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法

权利要求书

1.一种基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法，用于航天器轨迹偏差演化，其特征为该方法的步骤包括：

1)输入非线性系统的动力学方程、偏差演化阶数N、初始状态相对标称值和初始偏差协方差矩阵P₀；

2)采用微分代数方法，针对非线性系统的动力学方程预报非线性系统的终端状态，并表示为关于初始状态偏差δx₀的高阶泰勒展开多项式；

3)针对初始偏差协方差矩阵P₀确定子高斯分布协方差矩阵P_i，针对子高斯分布协方差矩阵P_i中的多个子高斯分布进行打靶拟合初始偏差分布生成高斯和模型；

4)针对生成高斯和模型计算给定阶数的子高斯分布高阶中心矩；

5)基于终端状态关于初始状态偏差的高阶多项式和子高斯分布的各阶中心矩，确定各子高斯分布在终端时刻的均值和协方差矩阵，进而给出高斯和形式的终端状态偏差分布概率密度函数；

步骤4)的详细步骤包括：

4.1)根据高斯分布的特性，确定子高斯分布的任意奇数阶中心矩均为0；

4.2)对第i个子高斯分布而言，令其中a＝1,2,...,n，x^a是状态变量x的第a个元素，是状态均值μ_i的第a个元素；根据式(12)计算子高斯分布偏差的二阶中心矩；

E{δx^aδx^b}＝P_i^ab,a,b∈[1,2,...,n] (12)

式(12)中，E{·}表示求括号内物理量的期望值，E{δx^aδx^b}为子高斯分布偏差的二阶中心矩，δx^a为状态变量x与状态均值μ_i第a个元素的偏差，δx^b为状态变量x与状态均值μ_i第b个元素的偏差，P_i^ab表示第i个子高斯分布对应的协方差矩阵P_i的第a行第b列元素；

4.3)在已知子高斯分布偏差的二阶中心矩的基础上，令m初始值为2且依次以2作为增量递增，在第m阶中心矩和协方差矩阵P_i的基础上根据式(13)推导得到子高斯分布的第m+2阶中心矩，直至计算到子高斯分布的前2N阶中心矩，其中N为偏差演化阶数；

式(13)中，E{·}表示求括号内物理量的期望值，E{δx^aδx^bδx^c...δx^d}为子高斯分布偏差的m+2阶中心矩的第(a,b,c,...,d)个元素，(a,b,c,...,d)为对m+2阶中心矩的元素的索引；P_i^ab表示第i个子高斯分布的协方差矩阵P_i的第a行第b列元素，E{δx^c...δx^d}为子高斯分布偏差的m阶中心矩的第(c,...,d)个元素；P_i^ac表示第i个子高斯分布的协方差矩阵P_i的第a行第c列元素，E{δx^b...δx^d}为子高斯分布偏差的m阶中心矩的第(b,...,d)个元素；以此类推，直至P_i^ad表示第i个子高斯分布的协方差矩阵P_i的第a行第d列元素，E{δx^bδx^c...}为子高斯分布偏差的m阶中心矩的第(b,c,...)个元素；

步骤5)的详细步骤包括：

5.1)遍历选择一个子高斯分布作为当前的第i个子高斯分布；

5.2)对第i个子高斯分布，根据式(14)将初始状态相对标称值的初始状态偏差δx₀变换成第i个子高斯分布的均值μ_i和相应偏差δx_i；

δx₀＝μ_i+δx_i (14)

式(14)中，δx₀为初始状态偏差，μ_i为第i个子高斯分布的均值，δx_i为第i个子高斯分布的偏差；

5.3)将变换成第i个子高斯分布的均值μ_i和相应偏差δx_i的初始状态偏差δx₀代入终端状态关于初始状态偏差δx₀的高阶泰勒展开多项式中，得到式(15)所示终端状态；

式(15)中，x_f为终端状态，T为高阶泰勒展开多项式，T的上标N为偏差演化阶数、T的下标x_f为终端状态，δx_i为第i个子高斯分布的偏差；

5.4)根据式(16)计算终端时刻第i个子高斯分布的均值μ_{i_f}作为式(15)所示终端状态的期望值；

式(16)中，μ_{i_f}为终端时刻第i个子高斯分布的均值，x_f为终端状态，T为高阶泰勒展开多项式，T的上标N为偏差演化阶数、T的下标x_f为终端状态，δx_i为第i个子高斯分布的偏差；

5.5)根据式(17)将终端时刻第i个子高斯分布的协方差矩阵P_{i_f}表示成关于初始子高斯分布偏差δx_i的2N阶泰勒展开式并求出第i个子高斯分布对应的期望值；

式(17)中，P_{i_f}表示终端时刻第i个子高斯分布的协方差矩阵，x_f为终端状态，μ_{i_f}为终端时刻第i个子高斯分布的均值，T为高阶泰勒展开多项式，T的上标中的N为偏差演化阶数，δx_i为第i个子高斯分布的偏差；

5.6)判断所有的子高斯分布是否已经遍历完毕，如果尚未遍历完毕，则跳转执行步骤5.2)；否则，跳转执行下一步；

5.7)在得到所有子高斯分布在终端时刻的均值μ_{i_f}和协方差矩阵P_{i_f}的基础上，根据式(18)求取终端时刻系统状态分布的精确概率密度函数并输出；

式(18)中，p(t,x_f)表示终端时刻系统状态分布的精确概率密度函数，t为终端时刻，x_f为终端状态，w_i为第i个子高斯分布对应的权重，M为打靶次数，p_g(x_f；μ_{i_f},P_{i_f})为第i个子高斯分布的概率密度函数，μ_{i_f}为终端时刻第i个子高斯分布的均值，P_{i_f}表示终端时刻第i个子高斯分布的协方差矩阵。