[发明专利]一种航天器多级驱动刚柔耦合响应的获取方法

权利要求书

1.一种航天器多级驱动刚柔耦合响应的获取方法，其特征在于包括如下步骤：

(1)将航天器视为由本体、部件和关节三类结构组成，其中本体和部件之间，以及部件和部件之间通过关节连接，或者固定连接，部件为刚体或者柔性体，关节为带驱动功能的柔性体，包括电机和减速机构；

(2)获取本体的动能T_b，

$T_b=\frac{1}{2}{\left[\begin{array}{c}{v}_b\\ {\mathrm{\ω}}_b\end{array}\right]}^T{\stackrel{\‾}{M}}_b\left[\begin{array}{c}{v}_b\\ {\mathrm{\ω}}_b\end{array}\right],{\stackrel{\‾}{M}}_b=\left[\begin{array}{cc}{M}_b& P_b\\ {P_b}^T& I_b\end{array}\right]$

其中，v_b是本体参考系O_bX_bY_bZ_b相对于惯性坐标系O_iX_iY_iZ_i的速度，在O_bX_bY_bZ_b下描述，ω_b是本体参考系O_bX_bY_bZ_b相对于惯性坐标系O_iX_iY_iZ_i的角速度，在O_bX_bY_bZ_b下描述，M_b是本体的质量，P_b是本体相对于本体参考系O_bX_bY_bZ_b的静矩，I_b是本体相对于本体参考系O_bX_bY_bZ_b的转动惯量；

(3)获取部件的动能T_ai和势能V_ai，

$T_{\mathrm{ai}}=\frac{1}{2}{\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\mathrm{\η}}}_{\mathrm{ai}}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}_{\mathrm{ai},1}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}_{\mathrm{ai},2}\end{array}\right]}^T{\stackrel{\‾}{M}}_{\mathrm{ai}}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\mathrm{\η}}}_{\mathrm{ai}}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}_{\mathrm{ai},1}\\ {\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}_{\mathrm{ai},2}\end{array}\right],V_{\mathrm{ai}}=\frac{1}{2}{\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\η}}_{\mathrm{ai}}\\ {\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{ai},2}\end{array}\right]}^T{\stackrel{\‾}{K}}_{\mathrm{ai}}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\η}}_{\mathrm{ai}}\\ {\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{ai},2}\end{array}\right]$

${\stackrel{\‾}{M}}_{\mathrm{ai}}=\left[\begin{array}{ccc}E& {\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{ij},1}+{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{ij},2}T& {\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{ij},2}\\ {\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{ij},1}+T^T{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{ji},2}& {\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{jj},11}+T^T{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{jj},21}+{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{jj},12}T+T^T{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{jj},22}T& {\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{jj},12}+T^T{\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{jj},22}\\ {\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{ji},2}& {\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{jj},21}& {\stackrel{\‾}{m}}_{\mathrm{ai},\mathrm{jj},22}\end{array}\right]$

${\stackrel{\‾}{K}}_{\mathrm{ai}}=\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{k}}_{\mathrm{ai},\mathrm{ii}}& 0\\ 0& {\stackrel{\‾}{k}}_{\mathrm{ai},\mathrm{jj},22}\end{array}\right]$

其中，η_ai是部件i的正则模态集的模态坐标，ξ_ai,1是部件i的约束模态集相对于部件i-1连接位置的界面节点物理坐标，ξ_ai,2是部件i的约束模态集相对于部件i+1连接位置的界面节点物理坐标，和中的各矩阵是质量阵和刚度阵根据η_ai、ξ_ai,1和ξ_ai,2划分后的分块矩阵；

(4)获取关节的动能T_ri和势能V_ti，

$T_{\mathrm{ri}}=\frac{1}{2}{\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{ti}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ti}}\end{array}\right]}^T{\stackrel{\‾}{M}}_{\mathrm{ti}}\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{ti}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ti}}\end{array}\right],{\stackrel{\‾}{M}}_{\mathrm{ti}}=\left[\begin{array}{cc}{M}_{\mathrm{ti}}& P_{\mathrm{ti}}\\ P_{\mathrm{ti}}^T& I_{\mathrm{ti}}\end{array}\right]$

$V_{\mathrm{ti}}=\frac{1}{2}{\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{ti}}^T{\stackrel{\‾}{K}}_{\mathrm{ti}}{\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{yi}},{\stackrel{\‾}{K}}_{\mathrm{ti}}=\mathrm{diag}\{k_{\mathrm{ti},\mathrm{tx}},k_{\mathrm{ti},\mathrm{ty}},k_{\mathrm{ti},\mathrm{tz}},k_{\mathrm{ti},\mathrm{rx}},k_{\mathrm{ti},\mathrm{ry}},k_{\mathrm{ti},\mathrm{rz}}\}$

其中，v_ti是关节i电机转子参考系O_tiX_tiY_tiZ_ti相对于惯性系O_iX_iY_iZ_i的速度，ω_ti是关节i电机转子参考系O_tiX_tiY_tiZ_ti相对于惯性坐标系O_iX_iY_iZ_i的角速度，M_ti是关节i电机转子质量，P_ti是关节i电机转子相对于电机转子参考系O_tiX_tiY_tiZ_ti的静矩，I_ti是关节i电机转子相对于关节i电机转子参考系O_tiX_tiY_tiZ_ti的转动惯量，ξ_ti是关节i减速机构与电机转子连接点相对于关节i电机转子参考系O_tiX_tiY_tiZ_ti的弹性变形位移，是减速机构的刚度阵，k_ti,tx,k_ti,ty,k_ti,tz是3个平动刚度值，k_ti,rx,k_ti,ry,k_ti,rz是3个转动刚度值；

(5)根据连接条件，结合步骤(2)～(4)的结果，建立整个航天器的动能T和势能V，

$T={\mathrm{\ω}}^T\mathrm{I\ω}={\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_0\\ {\mathrm{\ω}}_1\\ \stackrel{.}{\mathrm{\η}}\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{ccc}{I}_0\left(q\right)& I_{10}\left(q\right)& I_{20}\left(q\right)\\ I_{10}^T\left(q\right)& I_1\left(q\right)& I_{21}\left(q\right)\\ I_{20}^T\left(q\right)& I_{21}^T\left(q\right)& I_2\left(q\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_0\\ {\mathrm{\ω}}_1\\ \stackrel{.}{\mathrm{\η}}\end{array}\right]$

$I_0=\left[\begin{array}{cc}{M}_s& P_s\\ P_s^T& I_S\end{array}\right],v={\mathrm{\η}}^t{\mathrm{\Ω}}^2\mathrm{\η},{\mathrm{\Ω}}^2=\mathrm{diag}({\mathrm{\Ω}}_1^2{,\mathrm{\Ω}}_2^2,...)$

其中M_s是航天器的质量，I_s是航天器相对于本体参考系O_bX_bY_bZ_b的转动惯量，P_s是航天器相对于本体参考系O_bX_bY_bZ_b的静矩，ω₀＝[v_b ω_b]^T是本体平动速度和转动角速度组成的向量，是各部件或各关节的单轴转动角速度，q＝[q₁ q₂ ... q_n]^T是各部件或各关节的单轴转动角，为包含各部件的正则模态坐标、界面点坐标、关节弹性变形位移的速度项，I₀(q)、I₁(q)、I₂(q)、I₁₀(q)、I₂₀(q)、I₂₁(q)是广义质量阵I关于的分块矩阵；

所述的连接条件为：

$\left[\begin{array}{c}{v}_{t1}\\ {\mathrm{\ω}}_{t1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{C}_{b\→t1}(v_b+{\tilde{r}}_{a1}^T{\mathrm{\ω}}_b)\\ {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_{t1}+C_{b\→t1}{\mathrm{\ω}}_b\end{array}\right]$

${\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}_{a\mathrm{1,1}}=\left[\begin{array}{c}{C}_{t1\→a1}(v_{t1}+{\tilde{r}}_{t1}^T{\mathrm{\ω}}_{t1})\\ C_{t1\→a1}{\mathrm{\ω}}_{t1}\end{array}\right]+C_{t1\→a1}{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}_{t1}$

$\left[\begin{array}{c}{v}_{t1}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ti}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{ai}\→1\→\mathrm{ti}}({\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}_{\mathrm{ai}-\mathrm{1,1}}^t+{\tilde{r}}_{\mathrm{ai}}^T{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}_{\mathrm{ai}-\mathrm{1,1}}^r)\\ {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_{\mathrm{ti}}+C_{\mathrm{ai}-1\→\mathrm{ti}}{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}_{\mathrm{ai}-\mathrm{1,1}}^r\end{array}\right]+C_{\mathrm{ai}-1\→\mathrm{ti}}{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}_{\mathrm{ai}-\mathrm{1,2}},i>1$

${\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}_{\mathrm{ai},1}=\left[\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{ti}\→\mathrm{ai}}(v_{\mathrm{ti}}+{\tilde{r}}_{\mathrm{ti}}^T{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ti}})\\ C_{\mathrm{ti}\→\mathrm{ai}}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ti}}\end{array}\right]+C_{\mathrm{ti}\→\mathrm{ai}}{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}_{\mathrm{ti}},i>1$

其中，r_a1是部件1与本体固定连接时部件1与本体连接点在O_bX_bY_bZ_b下的位置矢量，是r_a1的斜对称矩阵，是部件1与本体通过关节1连接时关节1参考系O_t1X_t1Y_t1Z_t1相对于本体参考系O_bX_bY_bZ_b的角速度，在O_t1X_t1Y_t1Z_t1下描述，r_t1是部件1与关节1连接点在O_t1X_t1Y_t1Z_t1下的位置矢量，是r_t1的斜对称矩阵，C_b→t1是O_bX_bY_bZ_b到O_t1X_t1Y_t1Z_t1的坐标变换矩阵，C_t1→a1是O_t1X_t1Y_t1Z_t1到部件1参考系O_a1X_a1Y_a1Z_a1的坐标变换矩阵，是关节i参考系O_tiX_tiY_tiZ_ti相对于部件i-1参考系O_ai-1X_ai-1Y_ai-1Z_ai-1的角速度，在O_tiX_tiY_tiZ_ti下描述，r_ai是部件i与部件i-1的连接点在O_ai-1X_ai-1Y_ai-1Z_ai-1下的位置矢量，是r_ai的斜对称矩阵，r_ti是部件i与关节i连接点在O_tiX_tiY_tiZ_ti下的位置矢量，是r_ti的斜对称矩阵，C_ai-1→ti是O_ai-1X_ai-1Y_ai-1Z_ai-1到O_tiX_tiY_tiZ_ti的坐标变换矩阵，C_ti→ai是O_tiX_tiY_tiZ_ti到O_aiX_aiY_aiZ_ai的坐标变换矩阵，是ξ_ai-1,1的平动分量，是ξ_ai-1,1的转动分量；

(6)利用步骤(5)得到的航天器的动能和势能，采用Lagrange方程建立航天器的动力学方程，

$\begin{array}{c}2I\stackrel{.}{\mathrm{\ω}}+2\frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}\mathrm{\ω}+2{\widetilde{\mathrm{\ω}}}_b\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_{10}& I_{20}\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\mathrm{\ω}-{\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\ω}}^T\frac{\∂I}{{\∂q}_1}\mathrm{\ω}& {\mathrm{\ω}}^T\frac{\∂I}{{\∂q}_2}\mathrm{\ω}...0\end{array}\right]}^T+\\ \left[\begin{array}{c}0\\ 2{\tilde{v}}_b\left[\begin{array}{cc}E& 0\end{array}\right]\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\mathrm{\ξ\Ω}\stackrel{.}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\Ω}}^2\mathrm{\η}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}T\\ 0\end{array}\right]\end{array}$

$\frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}=\frac{\∂I}{{\∂q}_1}{\stackrel{.}{q}}_1+\frac{\∂I}{{\∂q}_2}{\stackrel{.}{q}}_2+...\frac{\∂I}{{\∂q}_n}{\stackrel{.}{q}}_n$

T＝[F_b T_b τ₁ τ₂ ...τ_n]^T

其中是ω_b的斜对称矩阵，是v_b的斜对称矩阵，是广义质量阵I关于ω的分块矩阵，ξ是阻尼系数，Ω是振动频率矩阵，是I对时间t的导数，是I对q_i的偏导数，是q_i对时间t的导数，F_b,T_b是本体作用力和力矩，τ₁,τ₂,...τ_n是各部件电子转子驱动力矩；

(7)求解步骤(6)得到的动力学方程，获得航天器多级驱动过程中的刚柔耦合动力学响应。