[发明专利]一种基于混合贝叶斯先验分布的可靠性验证测试方法

权利要求书

1.一种基于混合贝叶斯先验分布的可靠性验证测试方法，其特征在于，具体包括以下几个步骤：

步骤一、采用共轭先验分布的方法，确定未知失效概率p的先验分布；

假定某软件在任一运行时刻、任意选择输入的失效概率为p，且每次输入操作执行是均满足贝努利实验的独立统计性，则在n次执行中失效r次的概率为：

p(r)=Cnrpr(1-p)n-r]]>

因为二项式分布的共轭先验分布服从beta分布，所以失效概率p的概率密度函数的先验分布为：

f(p)＝p^a-1(1-p)^b-1/B(a，b)        (1.0)

其中：a＞0，b＞0，为beta函数的超参数，且B(a,b)=∫01pa-1(1-p)b-1dp;]]>

步骤二、利用先验矩方法确定共轭先验分布中的超参数；

首先收集测试增长阶段的测试信息，假设选取最后的m组测试信息作为先验信息，每组测试中含有n个测试用例，其中m组测试信息中导致失效的测试用例数的个数分别为k₁，k₂，…，k_m，k₁，k₂，…，k_m组成样本x，则样本x的边缘分布为：

h(x)=∫01f(p)π(x|p)dp---(2.0)]]>

其中：π(x|p)为样本x对p条件分布，将公式(1.0)带入公式(2.0)得出公式(2.1)：

h(x)=∫011B(a,b)pa-1(1-p)b-1Cnxpx(1-p)n-xdp=∫011B(a,b)Cnxpa+x-1(1-p)b+n-x-1dp]]>

=CnxB(a,b)∫01pa+x-1(1-p)b+n-x-1dp]]>

因为B(a,b)=∫01pa-1(1-p)b-1dp,]]>所以∫01pa+x-1(1-p)b+n-x-1dp=B(a+x,n+b-x),]]>所以得到：

h(x)=CnxB(a+x,n+b-x)/B(a,b)---(2.1)]]>

则h(x)的一阶矩，二阶矩具体为：

E(x)=∫xh(x)dx=Σx=0nxh(x)=∫01f(p)Σx=0nCnxxpx(1-p)n-xdp=na/(a+b)---(2.2)]]>

E[(x-1)x]=∫x(x-1)h(x)dx=Σx=0nx(x-1)h(x)]]>

=∫01f(p)Σx=0nCnxx(x-1)px(1-p)n-xdp=n(n-1)a(a+1)(a+b)(a+b+1)---(2.3)]]>

通过公式(2.2)(2.3)获取a，b的值如下：

a＝Ex(Ex²-nEx)/[(n-1)(Ex)²+n(Ex-Ex²)]    (2.4)

b＝(n-Ex)(Ex²-nEx)/[(n-1)(Ex)²+n(Ex-Ex²)]    (2.5)

其中：Ex为h(x)的一阶矩，用样本均值来估计超参数a和b，Ex²为h(x)的二阶矩，用来估计超参数a和b，最后，通过先验矩方法得到的超参数a和b的值分别记为a₁和b₁；

步骤三、利用最大熵方法确定共轭先验分布中的超参数；

将失效概率p的先验信息用f(p)如式(3.0)所述的约束方式表示：

E[gk(p)]=∫01f(p)gk(p)dp=μk---(3.0)]]>

其中：E[g_k(p)]为f(p)的k阶原点矩，即g_k(p)＝p^k，将E[g_k(p)]记为μ_k；本发明中E[p^k]采用f(p)的二阶原点矩，因此得到共轭最大熵求解公式如公式(3.1)所示；

maxH(p)=-∫01f(p)ln(f(p)f0(p)dp)s.t.E[gk(p)]=∫01f(p)gk(p)dp=μk---(3.1)]]>

其中：H(p)表示p的熵，f₀(p)为问题自然的不变的无信息先验分布，取值为1；则将公式(1.0)代入公式(3.1)，得到公式(3.2)：

H(p)=-1B(a,b)∫01pa-1(1-p)b-1[lnpa-1(1-p)b-1-lnB(a,b)]dp]]>

=ln B(a,b)B(a,b)-1B(a,b)∫01pa-1(1-p)b-1lnpa-1(1-p)b-1dp---(3.2)]]>

取k＝2，则：

E[gk(p)]=1B(a,b)∫01p2pa-1(1-p)b-1dp]]>

=B(a+2,b)B(a,b)=a(a+1)(a+b)(a+b+1)=μ2---(3.3)]]>

公式(3.1)为条件极值问题，利用拉格朗日乘数法将条件极值转换为无条件极值；具体为：

令：

获取的无条件极值，则；

式中：λ是拉格朗日求极值过程的一个参数，F_a(a，b，λ)表示F(a，b，λ)对a求偏导，F_b(a，b，λ)表示F(a，b，λ)对b求偏导，F_λ(a，b，λ)表示F(a，b，λ)对λ求偏导，h_a表示对a求偏导、h_b表示对b求偏导；根据方程组(3.5)获取得到a和b的值，分别记为a₂和b₂；

步骤四、采用第二类极大似然方法确定步骤二和步骤三中得出的两种先验分布的权重；

具体步骤如下：

步骤4.1：将先验矩方法得出的分布函数记为π₁(p)，π1(p)=pa1-1(1-p)b1-1/B(a1,b1),]]>最大熵方法得出的先验分布函数记为π₂(p)，π2(p)=pa2-1(1-p)b2-1/B(a2,b2),]]>根据公式(4.0)和(4.1)分别取出确定这两种不同方法得出的先验分布的似然函数值；

m(x|πk)=∫01f(X|p)πk(p)dp,k=1,2---(4.0)]]>

L(X|πk)=Πi=1nm(xi|πk),k=1,2---(4.1)]]>

其中：m(x|π_k)为先验分布的边缘分布，L(X|π_k)为似然函数；

步骤4.2：根据公式(4.2)获取两种分布的置信因子，并将置信因子作为超参数的权重；

ϵk=L(X|πk)Σk=12L(X|πk),k=1,2---(4.2)]]>

其中：ε₁为先验矩方法取得的分布的置信因子，ε₂为最大熵方法取得的分布的置信因子；

步骤五、按不同的权重将两种方法估计出的超参数值进行融合，确定最终先验分布的超参数；

a＝ε₁a₁+ε₂a₂

                                   (5.0)

b＝ε₁b₁+ε₂b₂

步骤六、确定可靠性验证测试无失效最小测试用例数；

步骤6.1：通过上述步骤，得到了未知失效概率p的先验分布，确定第一轮可靠性验证测试的无失效最小测试用例数n₁，将公式(5.0)求出的a，b值代入公式(6.0)，得到n₁：

p(p<p0)=∫0p0f(p|0,n1,a,b)=dp=∫0p0pa-1(1-p)b+n1-1dpB(a,b+n1)≥c---(6.0)]]>

其中：(p₀，c)为要求的可靠性指标已知，p₀为失效率指标，c为置信度指标，f(p|0，n，a，b)为执行了n个测试用例发生0个失效的概率分布；

步骤6.2：若根据步骤6.1第一轮得到的n₁个测试用例全部无失效通过测试，则说明该软件符合给定的可靠性要求，验证结束；否则，若第一轮执行到第t₁个测试用例发生失效，说明不符合验收指标，排除故障后需进行第二轮可靠性验证测试，转入步骤6.3；

步骤6.3：把第一轮可靠性验证测试执行通过的测试用例数(t₁-1)和失效的用例数1，作为先验信息融入到先验分布中，得到新的概率分布f(p|1，t₁，a，b)，见公式(6.1)所示；再根据公式(6.2)确定第二轮测试所需最小的无失效用例数n₂；

f(p|1,t1,a,b)=pa(1-p)b+t1-2B(a+1,b+t1-1)---(6.1)]]>

p(p<p0)=∫0p0f(p|1,t1+n2,a,b)dp=∫0p0pa(1-p)b+t1+n2-2dpB(a+1,b+t1+n2-1)≥c---(6.2)]]>

其中：f(p|1，t₁+n₂，a，b)为在第1轮的基础上，无失效执行n₂个测试用例的概率分布，仿真计算出n₂的值；

若n₂个无失效用例全部无失效通过测试，则说明该软件符合给定的可靠性要求，验证结束；否则，若第二轮测试执行到第t₂个测试用例发生失效，说明不符合验收指标，排除故障后需进行第下一轮可靠性验证测试，转入步骤6.4；

步骤6.4：以此类推，若可靠性验证测试进行了i轮，各轮失效分别发生在第t₁，t₁+t₂，，...t，₁+t₂+t₃+...+_i个测试用例上，则由公式(6.3)获取下一轮测试需要的无失效的最少用例数n_i+1；

∫0p0pa+i-1(1-p)b+Σ1iti-i+ni+1-1dpB(a+i,b+Σ1iti-i+ni+1)≥c---(6.3)]]>

其中：为i轮测试共执行的测试用例数，为i轮测试共通过的测试用例数，令则公式(6.3)变为：

∫0p0pa+i-1(1-p)b+Ni+1-i-1dpB(a+i,b+Ni+1-i)≥c---(6.4)]]>

利用公式(6.4)，获取累积的总测试用例量N_i+1，然后再根据得到具体的第i+1轮可靠性验证测试所需要的无失效测试用例量n_i+1；根据第i+1轮可靠性验证测试所需要的无失效测试用例量n_i+1进行软件可靠性测试。